บทที่3

สถิติอ้างอิง

สถิติอ้างอิง ( Inferential statistics ) หมายถึง สถิติที่ใชัในการสรุปอ้างอิงข้อมูลที่ได้จากกลุ่มตัวอย่างไปยังข้อมูลของประชากร โดยใช้ทฤษฎีความน่าจะเป็น การประมาณค่าพารามิเตอร์ การทดสอบสมมุติฐาน ดังนั้น เนื้อหาที่สำคัญในบทนี้จะนำเสนอในเรื่องที่เกี่ยวข้องกับสถิติอ้างอิงก่อนได้แก่ มโนทัศน์เบื้องต้นของการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่างๆ Sampling Distribution ของสถิติทดสอบแบบต่างๆ การสุ่มตัวอย่างและขนาดของกลุ่มตัวอย่าง การประมาณค่าพารามิเตอร์ แล้วจึงนำเสนอสถิติอ้างอิงเบื้องต้นที่สำคัญ ได้แก่ การทดสอบสมมติฐาน การวิเคราะห์ความแปร ปรวน ส่วนความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรและการทำนายตัวแปร จะกล่าวในบทต่อไป

มโนทัศน์เบื้องต้นของการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่างๆ

ตัวแปรสุ่ม หมายถึง สิ่งที่มีความผันแปรโดยมีโอกาสในการเกิดความผันแปรได้เท่าๆกัน หรือเป็นเซ็ตของค่าที่ผันแปรได้ เช่น ถ้าให้ X เป็นตัวแปรสุ่มของการทอดลูกเต๋า 1 ครั้ง ค่าของ X ที่อาจจะเกิดขึ้นได้ มีค่าตั้งแต่ 1 – 6 โดยมีค่าความน่าจะเป็นหรือโอกาสในการเกิดค่าต่างๆได้เท่ากัน คือ 1/6 ประเภทของตัวแปรสุ่มแบ่งได้ 2 ชนิด คือ ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ( Discrete random variable) และ ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง ( Continuous random variable)

1. ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ( Discrete random variable) ค่าของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง จะมีได้เพียงบางค่าและเป็นจำนวนนับ ซึ่งอาจมีจำนวนที่จำกัด หรือเป็นค่าอนันต์ที่นับได้ เช่น การจับใบดำ-แดงในการเกณฑ์ทหาร การโยนเหรียญ การทอดลูกเต๋า การตรวจสอบคุณภาพของสินค้า ตัวอย่างค่าที่ได้จากการสุ่มสินค้าที่เสีย X = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10

2. ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง ( Continuous random variable) ค่าของตัวแปรสุ่มแบบต่อ

เนื่อง จะมีค่าจริงในช่วงที่ต่อเนื่องกัน เช่น น้ำหนัก ส่วนสูง ระยะเวลา ตัวอย่างค่าของน้ำหนักของนักเรียนมัธยมศึกษา จะอยู่ในช่วง 40-90 กิโลกรัม เขียนได้ว่า 40 < X < 90 กิโลกรัม

การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรแบบไม่ต่อเนื่อง( Discrete probability distribution)

กรณีที่ตัวแปรสุ่มเป็นตัวแปรแบบไม่ต่อเนื่อง ตัวแปรชนิดนี้จะมีค่าบางค่าและจะมีการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่างๆกันขึ้นอยู่กับลักษณะของการทดลองสุ่ม ซึ่งการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรแบบไม่ต่อเนื่องที่ควรทราบ มีดังนี้

1. การแจกแจงแบบทวินาม ( Binomial distribution)

เป็นการแจกแจงของตัวแปรสุ่มที่ไม่ต่อเนื่อง(Discrete random variable) ที่ในการทดลองแต่ละครั้งจะเกิดผลลัพธ์เพียง 2 อย่าง คือ สำเร็จ (success)กับผิดหวัง(failure)

การแจกแจงแบบทวินาม เขียนแทนด้วย b( x, n, p )

โดยที่ n คือ การทดลองซ้ำๆกันในสภาวะเหมือนๆกัน อย่างเป็นอิสระ

x คือ จำนวนความสำเร็จที่ได้จากการทดลอง n ครั้ง

p คือ ความน่าจะเป็นที่พบความสำเร็จ

ตัวอย่างเหตุการณ์ที่มีการแจกแจงแบบทวินาม เช่น การโยนเหรียญ การมีบุตร การทำข้อสอบเลือกตอบ ดังแสดงในตาราง 3.1

ตาราง 3.1 ตัวอย่างของตัวแปรทวินาม

การทดลอง	สำเร็จ	ไม่สำเร็จ	p	n	x
การโยนเหรียญ	หัว	ก้อย	1/2	จำนวนครั้งในการโยนเหรียญ	จำนวนครั้งที่ออกหัว
การมีบุตร	หญิง	ชาย	1/2	จำนวนบุตร	จำนวนบุตรสาวในครอบครัว
การทำข้อสอบเลือกตอบ 4 ตัวเลือก	ถูก	ผิด	1/4	จำนวนข้อสอบ	จำนวนข้อที่ตอบถูก

การคำนวณค่าการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบทวินาม

สมมติการสอบครั้งหนึ่ง เหลือเวลาอีก 3 วินาที แต่ยังมีข้อสอบ 4 ตัวเลือกอีก 3 ข้อที่ยังไม่ได้ทำ นิสิตจึงตัดสินใจทำข้อสอบทั้ง 3 ข้อโดยไม่อ่าน จงหาความน่าจะเป็นในการทำข้อสอบได้ถูกทั้ง 3 ข้อ ถูกเพียง 2 ข้อ ถูกเพียง 1 ข้อ และไม่ถูกเลย

ความน่าจะเป็นในการทำข้อสอบถูกในแต่ละข้อ = .25 ความน่าจะเป็นในการทำข้อสอบผิดในแต่ละข้อ = .75 (ข้อสอบมี 4 ตัวเลือก)

ความน่าจะเป็นที่จะทำข้อสอบถูก 3 ข้อ 2 ข้อ 1ข้อ 0 ข้อ สามารถหาได้ ดังนี้

p (ถูก 3 ข้อ) = p(TTT) = p³= .25 ³= .02

p (ถูก 2 ข้อ) = p(TTF) หรือ ( TFT) หรือ(FTT)

= p(TTF) + p( TFT) + p(FTT)

= (.25´.25´.75) + (.25´.25´.75) +(.25´.25´.75)

= .046+.046+.046 = .14

p (ถูก 1 ข้อ) = p(TFF) หรือ ( FTF) หรือ(FFT)

= p(TFF) + p( FTF) + p(FFT)

= (.25´.75´.75) + (.75´.25´.75) +(.75´.75´.25)

= .14+.14+.14 = .42

p (ถูก 0 ข้อ) = p(FFF) = p³= .75 ³= .42

เพื่อความสะดวกนักคณิตศาสตร์สถิติได้คิดสูตรสำเร็จเพื่อหาความน่าจะเป็นแบบทวินาม ดังนี้

สูตรที่ใช้หาค่าความน่าจะเป็นที่จะเกิดความสำเร็จ

b( x, n, p ) = ⁿ C_xp^xq^{n – x}

= n ! p^xq^{n – x}

x ! (n – x ) !

โดยที่ n = จำนวนครั้งในการทดลอง

x = ความสำเร็จที่เกิดขึ้น

p = ความน่าจะเป็นที่จะพบความสำเร็จ

q = ความน่าจะเป็นที่จะพบความผิดหวัง

ตัวอย่าง จากข้อมูลการส่งแบบสอบถามไปยังสถาบันการศึกษาทั่วประเทศ พบว่าจะได้รับกลับคืนมา 60% ถ้าสุ่มเลือกสถาบันการศึกษา 3 แห่ง แล้วส่งแบบสอบถามไปให้ จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้รับแบบสอบถามกลับคืนมา

กรณีที่ 1 3 ฉบับ

กรณีที่ 2 2 ฉบับ

กรณีที่ 3 น้อยกว่า 2 ฉบับ

การแจกแจงแบบทวินาม เขียนแทนด้วย b( x, n, p )โดยที่

กรณีที่ 1 x = 3 n = 3 p = 0.60

b( x, n, p ) = ⁿ C_xp^xq^{n – x}

= n ! p^xq^{n – x}

x ! (n – x ) !

= 3 ! 0.6³0.4⁰ = 0.22

3 ! (3 – 3 ) !

กรณีที่ 2 x = 2 n = 3 p = 0.60

b( x, n, p ) = n ! p^xq^{n – x}

x ! (n – x ) !

= 3 ! 0.6²0.4¹ = 3´ 0.14 = 0.42

2 ! (3 – 2 ) !

กรณีที่ 3 x = 1และ 0 n = 3 p = 0.60

b( x, n, p ) = n ! p^xq^{n – x}

x ! (n – x ) !

= 3 ! 0.6¹0.4² = 3´0.096 = 0.29

1 ! (3 – 1 ) !

และ b( x, n, p )= 3 ! 0.6⁰0.4³ = 0.06

0 ! (3 –0) !

= 0.29+.06 = 0.35

นอกจากการคำนวณความน่าจะเป็นแบบทวินามแล้ว นักสถิติได้สร้างตารางการแจกแจงความน่าจะเป็นทวินาม เมื่อต้องการหาความน่าจะเป็นแบบทวินามจากตารางจะต้องทราบค่า

n , p , x โดยใช้ตาราง ความน่าจะเป็นแบบทวินาม ในภาคผนวก

ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนแบบทวินาม

E(x) = S x. p(x) = np

Var (x) = E( X - m )²= npq

ตัวอย่าง ในระยะ 5 ปีที่ผ่านมา สำนักทะเบียนพบว่าในแต่ละปีที่นิสิตลงทะเบียนเรียนวิชาเลือกเสรี ก.เมื่อต้นเทอม จะมีการถอนวิชานี้ถึง 20% ถ้าปีนี้มีนิสิตลงทะเบียนวิชานี้ 100 คน โดยเฉลี่ยจะมีนิสิตเรียนจบวิชานี้กี่คนและมีความแปรปรวนเท่ากับเท่าไร

การตัดสินใจของนิสิตคนหนึ่งก็คือการทดลอง1 ครั้ง นิสิต 100 คน ก็มีการทดลอง 100 ครั้ง

n = 100

การตัดสินใจที่เกิดขึ้น คือ ถอน กับไม่ถอน ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นในการถอน(q) = .20

ความน่าจะเป็นที่จะเรียนจบวิชานี้ (p)= .80

โดยเฉลี่ยแล้วจะมีนิสิตเรียนจบวิชานี้ ใช้สูตร

E(x) = S x. p(x) = np

= 100´0.80

= 80 คน

โดยมีความแปรปรวน = npq

= 100 ´ 0.80 ´ 0.20

= 16

ตัวอย่าง บารมีเป็นนักกีฬาของสถาบัน ความน่าจะเป็นที่บารมีจะชู๊ตลูกบอลลงตาข่าย คือ0.5 ในการแข่งขันครั้งนี้ บารมีมีโอกาสชู๊ตลูกบอล 6 ครั้ง อยากทราบว่าบารมีน่าจะชู๊ตลูกบอลลงห่วงกี่ครั้ง และค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับเท่าไร

จากโจทย์ n = 6 p = 0.5 q = 1 - 0.5 = 0.5

E(x) = np

= 6 ´ 0.5 = 3

บารมีน่าจะชู๊ตลูกบอลลงห่วง = 3 ครั้ง

Var (x) = E( X - m )²= npq

= 6 ´ 0.5´ 0.5 = 1.5

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน = 1.22

2. การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบปัวซอง (Poisson distribution)

การแจกแจงชนิดนี้มีประโยชน์มากช่วยแก้ไขขีดจำกัดของการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบทวินาม เมื่อความน่าจะเป็นที่จะพบความสำเร็จมีค่าน้อยมาก ( p 0 ) และจำนวนการทดลอง n มีค่ามาก ( n ¥) การแจกแจงแบบนี้ยังมีประโยชน์ใช้กับจำนวนความสำเร็จหรือเหตุการณ์ที่สนใจเกิดขึ้นในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่ง เช่น จำนวนผู้ป่วยที่มาโรงพยาบาลในช่วงเวลา 9.00-10.00 น. จำนวนรถหายในเดือนมกราคม จำนวนคำที่พิมพ์ผิดต่อหน้า เป็นต้น

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบปัวซองนี้จะเกี่ยวข้องกับการทดลองแบบปัวซองที่มีคุณสมบัติ ดังนี้

1) จำนวนความสำเร็จที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่ง หรือในสถานการณ์ใดสถานการณ์

หนึ่งเป็นอิสระจากความสำเร็จที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาอื่นๆหรือสถานการณ์อื่นๆ

2) ความน่าจะเป็นที่จะพบความสำเร็จมีค่าน้อยมาก p 0 , q 1 และความน่าจะเป็นนี้จะเป็นปฏิภาคกับเวลา

ถ้า x คือจำนวนความสำเร็จที่ได้จากการทดลองแบบปัวซอง และเป็นตัวแปรสุ่มแบบปัวซอง ดังนั้น การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบปัวซองก็คือ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มปัวซองที่เป็นจำนวนความสำเร็จที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่ง หรือในสถานการณ์ใดสถานการณ์หนึ่ง การแจกแจงนี้เขียนได้ด้วยสัญลักษณ์ p( x , l) แสดงว่าการแจกแจงขึ้นอยู่กับ l โดยที่ lคือค่าเฉลี่ยของความสำเร็จที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาหนึ่ง หรือสถานการณ์หนึ่ง ความน่าจะเป็นที่จะพบความสำเร็จ x ครั้ง ในช่วงเวลาหนึ่งหรือสถานการณ์หนึ่งคือ

p( x , l) = e ^-^l l ^xเมื่อ x คือ 0,1,2,…

l = ค่าเฉลี่ยของความสำเร็จที่เกิดขึ้น

e = 2.71828

ดังนั้นการคำนวณหาความน่าจะเป็นโดยใช้การแจกแจงแบบปัวซองจะต้องทราบค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มแบบปัวซองก่อนเสมอ

เนื่องจาก p 0 , q 1 ดังนั้น m = np = l และ s²= npq = l

ตัวอย่าง ถ้าสถิติคนตายด้วยอุบัติเหตุของเมืองหนึ่งโดยเฉลี่ย วันละ 6.5 คน และเมืองนี้มีประชากร 237,000 คน จงหาความน่าจะเป็นที่

1) มีคนตาย 5 คน

2) ไม่มีคนตายเลย

l = 6.5

1) p( x , l) = e ^-^l l ^x

p( 5 , 6.5) = (2.71828) ^{– 6. 5} 6.5 ⁵

ความน่าจะเป็นที่จะมีคนตาย 5 คน = 0.1450

2) p( x , l) = e ^-^l l ^x

p( 0 , 6.5) = (2.71828) ^{– 6. 5} 6.5 ⁰

ความน่าจะเป็นที่จะไม่มีคนตาย = 0.0015

เพื่อความสะดวกและรวดเร็ว นักคณิตศาสตร์จึงได้สร้างตารางของการแจกแจงความ

น่าจะเป็นของการแจกแจงแบบปัวซอง โดยจะต้องทราบค่า x และ l โดยเปิดตารางความน่าจะเป็นแบบปัวซอง ในภาคผนวก

การแจกแจงของตัวแปรสุ่มที่ต่อเนื่อง (Continuous random variable)

การแจกแจงของตัวแปรสุ่มที่ต่อเนื่องที่สำคัญที่จะกล่าวถึงในตอนนี้ ได้แก่ การแจกแจงแบบโค้งปกติ การแจกแจงปกติมาตรฐาน การแจกแจงแบบที การแจกแจงแบบไคสแควร์ และ

การแจกแจงแบบเอฟ

ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง ( Continuous random variable) ค่าของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง จะมีค่าจริงในช่วงที่ต่อเนื่องกัน เช่น น้ำหนัก ส่วนสูง ระยะเวลา ตัวอย่างค่าของน้ำหนักของนักเรียนมัธยมศึกษา จะอยู่ในช่วง 40-90 กิโลกรัม เขียนได้ว่า 40 < X < 90 กิโลกรัม

Sample space ของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องจะประกอบด้วยปริมาณต่าง ๆ ซึ่งเป็นค่าที่ได้จากการวัด เช่น ค่าความเร็วของรถที่วัดได้ ค่าน้ำหนักของสัตว์ที่วัดได้ในห้องทดลอง ค่าความสูงของนักเรียนที่วัดได้… ค่าต่าง ๆ เหล่านี้ที่วัดได้มีได้มากมายนับไม่ถ้วนจนเราไม่สามารถหาค่าความน่าจะเป็นที่จะเกิดค่าใดค่าหนึ่งได้ ต้องหาเป็นช่วงหรือเป็นพื้นที่ เช่น เราจะหาค่าความน่าจะเป็นที่รถจะวิ่งไปที่ใด ๆ ด้วยความเร็ว 60 ถึง 70 กม./ ชั่วโมง หาค่าความน่าจะเป็นที่สัตว์ในห้องทดลองจะหนัก 6.5 ถึง 8.5 ออนซ์ เป็นต้น

ค่าความน่าจะเป็นที่สัมพันธ์กับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องถูกกำหนดโดยแท่งสี่เหลี่ยมผืนผ้า กล่าวคือสร้างเป็นรูปฮิสโทแกรมได้ ในกรณีของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง จะแทนความน่าจะเป็นโดยใช้พื้นที่เช่นกัน ดังแสดงในรูป 1 แต่แทนที่จะแทนด้วยแท่งสี่เหลี่ยมผืนผ้าก็จะแทนด้วยพื้นที่ใต้โค้ง

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

รูป1

รูป 1 ทางซ้ายแทนการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มซึ่งมีค่า 0, 1, 2, …, 10 และความน่าจะเป็นที่จะได้ค่า 3 แสดงด้วยพื้นที่ส่วนที่แรเงา

รูป 1 ทางขวาแสดงค่าของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องซึ่งจะเป็นค่าใดก็ได้บนช่วง 0-10 ความน่าจะเป็นที่จะได้ค่าระหว่าง 3.0 กับ 4.0 แสดงด้วยพื้นที่ใต้โค้งที่แรเงาด้วยสีทึบซึ่งอยู่ทางซ้ายของรูป และความน่าจะเป็นที่จะได้ค่า 8 ขึ้นไปแสดงด้วยพื้นที่ใต้โค้งที่แรเงาด้วยสีทึบซึ่งอยู่ทางขวาของรูป

รูปโค้งที่แสดงทางขวาของรูป 1 ก็คือกราฟของฟังก์ชันที่มีชื่อเฉพาะว่า Probability density function

พื้นที่ใต้โค้งระหว่าง 2 ค่าใด ๆ a และ b (ดังรูป 2) ใช้บอกค่าความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องเป็นช่วงจาก a ถึง b

a b

รูป 2

ค่าของ Probability density function จะไม่มีทางเป็นลบ และพื้นที่ใต้โค้งทั้งหมดมีค่าเท่ากับ 1 เสมอ

1. การแจกแจงแบบโค้งปกติ

การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องที่สำคัญที่สุดคือการแจกแจงปกติ (Normal distribution) กราฟของการแจกแจงปกติเรียกว่า โค้งปกติ (Normal curve) ซึ่งมีลักษณะเหมือนระฆังคว่ำ ดังรูป 3

รูป 3 โค้งปกติ

ข้อมูลส่วนใหญ่มักจะมีการแจกแจงเป็นรูปโค้งปกติ ใน ค.ศ. 1733 De Moivre เป็นผู้สร้างสมการทางคณิตศาสตร์ของโค้งปกติขึ้น การแจกแจงปกตินี้ บางทีเรียกว่า Gaussian distribution เพื่อเป็นเกียรติกับ Karl Gauss (ค.ศ. 1777 – 1855) ผู้ซึ่งได้สร้างสมการสำหรับโค้งปกติจากการศึกษาความคลาดเคลื่อนที่เกิดขึ้นเมื่อมีการวัดซ้ำ ๆ กัน

ตัวแปรสุ่ม X ที่มีการแจกแจงเป็นรูประฆังคว่ำดังแสดงในรูป 3 เรียกว่า “ตัวแปรสุ่มปกติ” (Normal random variable) สมการทางคณิตศาสตร์สำหรับการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง ขึ้นอยู่กับค่าพารามิเตอร์ 2 ตัว คือ m (Mean) และ s (Standard deviation) ดังนั้น Probability density function ของตัวแปรสุ่ม X จึงแสดงด้วย n (X ; m, s)

โค้งปกติ ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่มปกติด้วยค่าเฉลี่ย = m และความแปรปรวน = s² แล้ว

สมการของโค้งปกติคือ (Walpole, 1974 : 102)

เมื่อ p = 3.14159… และ e = 2.71828…

หรือเขียนในอีกรูปหนึ่งคือ

เมื่อ Y เป็นส่วนสูงของโค้ง (Ordinate) ขึ้นอยู่กับค่า X แต่ละค่า

p เป็นตัวคงที่มีค่า 3.1416

e เป็นตัวคงที่อีกตัวหนึ่งมีค่า 2.7183

จากสมการโค้งปกติแสดงว่า โค้งปกติไม่ใช่มีเพียงรูปเดียว แต่มีได้หลาย ๆ รูป โดยจะมีรูปร่างโด่งมาก (Leptokertic) โด่งปานกลาง (Mesokertic) หรือที่รู้จักกันทั่วไปว่าโค้งปกติ (Normal curve) หรือโค้งลาด (platykertic) แตกต่างกันออกไปขึ้นอยู่กับค่า m และ s นั่นคือโค้งจะอยู่ตรงตำแหน่งใดของแกนนอนขึ้นอยู่กับค่า m และลักษณะของโค้งจะโด่งมากน้อยเพียงใดหรือลาดเพียงใดขึ้นอยู่กับค่าของ s ถ้า s มากโค้งจะลาด ถ้า s น้อยโค้งจะโด่ง ดังแสดงได้ด้วยรูปต่าง ๆ ดังนี้

s₁ s₂

m₁ m₂ X

รูป 4 รูปโค้งปกติเมื่อ m₁ ¹ m₂

s₁ = s₂

s₁

s₂

m₁ = m₂ X

รูป 5 รูปโค้งปกติเมื่อ m₁ = m₂

s₁ < s₂

s₁

m₁ m₂ X

รูป 6 รูปโค้งปกติเมื่อ m₁ ¹ m₂

s₁ < s₂

รูป 4 เป็นรูปโค้งปกติ 2 รูปที่มีความเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากัน แต่ค่าเฉลี่ยไม่เท่ากัน รูปโค้งปกติ 2 รูปนี้มีรูปร่างเหมือนกัน แต่อยู่คนละตำแหน่งกันเพราะค่าเฉลี่ยไม่เท่ากัน นั่นคือ ถ้ามี s เท่ากัน แต่ m ไม่เท่ากัน จะเป็นโค้งคนละรูป

รูป 5 เป็นรูปโค้งปกติ 2 รูปที่มีค่าเฉลี่ยเท่ากันแต่ความเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่เท่ากัน โค้งปกติ 2 รูปนี้มีจุดกึ่งกลางอยู่ที่ตำแหน่งเดียวกันบนแกน X แต่โค้งปกติที่มีค่าความเบี่ยงเบนมาตรฐานสูงจะต่ำกว่าและแผ่กว้างกว่า นั่นคือ ถ้ามี m เท่ากัน แต่ s ไม่เท่ากัน จะเป็นโค้งคนละรูป โปรดจำไว้ว่าพื้นที่ใต้โค้งปกติจะต้องเท่ากับ 1 เสมอ ดังนั้นถ้าค่าสังเกตยิ่งแตกต่างกันมาก โค้งก็จะยิ่งต่ำและลาด

รูป 6 แสดงรูปโค้งปกติ 2 รูป ที่มีค่าเฉลี่ยไม่เท่ากันและความเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่เท่ากัน รูปโค้งปกติทั้ง 2 รูปมีจุดกึ่งกลางอยู่ตำแหน่งต่างกันบนแกน X และมีรูปร่างต่างกันด้วย นั่นคือ ถ้า m และ s ไม่เท่ากัน โค้งจะเป็นคนละรูป

ตัวอย่างการแจกแจงปกติ 3 รูปที่มีค่า m และ s ต่างกัน

f(X)

s = 1

m = 40 X

f(X)

s = 5

m = 10 X

f(X)

s = 2

m = 50 X

สมการของโค้งปกติขึ้นอยู่กับค่าของ m และ s จึงทำให้ได้โค้งปกติรูปร่างต่าง ๆ กันไปดังแสดงในรูป 4, 5, 6 ซึ่งทำให้พื้นที่ใต้โค้งมีค่าต่าง ๆ ไปด้วย ในทางปฏิบัติจะหาพื้นที่ใต้โค้งโดยใช้ตารางสำเร็จในภาคผนวก

เนื่องจากว่าเป็นไปไม่ได้และไม่จำเป็นด้วยที่จะสร้างตารางหาพื้นที่ใต้โค้งสำหรับ m และ s ที่เกิดขึ้นทุกคู่ จึงได้มีการสร้างตารางแสดงพื้นที่สำหรับการแจกแจงปกติที่มี m = 0, s = 1 เท่านั้น ซึ่งมีชื่อเรียกเฉพาะว่า Standard normal distribution สำหรับใช้กับโค้งปกติรูปต่าง ๆ แล้วหาพื้นที่ใต้โค้งปกติใด ๆ ได้ โดยเปลี่ยนค่าของสเกลเดิมหรือ X-scale (ดังรูป 7) เป็นหน่วยมาตรฐาน (Standard units) หรือคะแนนมาตรฐาน (Standard scores) หรือคะแนนซี (Z-scores) โดยใช้สูตร

Z-score นี้เป็นสเกลใหม่ ซึ่งค่า Z จะบอกให้ทราบว่ามีอยู่กี่ความเบี่ยงเบนมาตรฐานที่อยู่เหนือหรือใต้ค่าตัวกลางเลขคณิต

m-3s m-2s m-s m m+s m+2s m+3s X-Scale

-3 -2 -1 0 1 2 3 Z-Scale

รูป 7

คุณสมบัติที่สำคัญของโค้งปกติ (Walpole. 1974 : 103)

1. ค่าของฐานนิยมอยู่ที่ X = m ซึ่งเป็นจุดบนแกน X ที่เกิดจากการลากเส้นตั้งฉากจากจุดที่โค้งสูงที่สุดลงมายังแกนนอน X

2. โค้งมีลักษณะสมมาตร ถ้าแบ่งโค้งนี้ตามเส้นแนวตั้งตรงค่าของ m เส้นแนวตั้งนี้จะแบ่งพื้นที่ออกเป็น 2 ส่วนเท่า ๆ กัน

3. เส้นโค้งจะเข้าใกล้แกนนอน X ไปเรื่อย ๆ ทั้ง 2 ข้าง แต่ไม่จรดแกนนอน

4. พื้นที่ใต้โค้งทั้งหมดมีค่าเท่ากับ 1

5. พื้นที่ใต้โค้งเกือบทั้งหมดอยู่ระหว่าง m - 3s และ m + 3s

การหาพื้นที่ใต้โค้งปกติ

พื้นที่ใต้โค้งปกติทั้งหมดมีค่าเป็น 1 หรืออาจจะทำเป็นเปอร์เซ็นต์ก็ได้ โดยคูณด้วย 100

ในการหาพื้นที่ใต้โค้งจะต้องหาคะแนนมาตรฐานซี (Z-score) ก่อน จากสูตร

เมื่อ Z แทนค่าของคะแนนมาตรฐานซี

X แทนค่าของคะแนนดิบใด ๆ ที่ต้องการแปลงเป็น Z

m แทนตัวกลางเลขคณิตของคะแนนชุด X

s แทนความเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนชุด X

คุณสมบัติของคะแนนมาตรฐาน Z

1. ค่าเฉลี่ยของคะแนนมาตรฐาน (Z) = 0

2. คะแนนมาตรฐาน Z มีค่าเป็นบวกและลบ

3. ความแปรปรวนของคะแนนมาตรฐาน(s²) = 1

4. ผลบวกของคะแนนมาตรฐาน Z = 0

5. ผลบวกกำลังสองของคะแนนมาตรฐานมีค่าเท่ากับจำนวนข้อมูล SZ²= N

6. การแจกแจงของคะแนนมาตรฐานเหมือนการแจกแจงของคะแนนดิบ

การแจกแจงของคะแนนมาตรฐานมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต เท่ากับ 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่า

กับ 1 จึงทำให้สามารถนำค่าคะแนนมาตรฐานมาเปรียบเทียบได้

จากสูตรจะเห็นว่า Z-score ก็คือคะแนนดิบที่ถูกแปลงให้เป็นหน่วยของความเบี่ยงเบนมาตรฐานนั่นเอง เพื่อจะหาว่ามีอยู่กี่หน่วยความเบี่ยงเบนมาตรฐานที่คะแนนดิบอยู่เหนือหรือใต้ตัวกลางเลขคณิต ถ้าคะแนนดิบ X อยู่เหนือตัวกลางเลขคณิตหนึ่งหน่วยความเบี่ยงเบนมาตรฐานก็จะมีค่า Z เป็น 1 ถ้าคะแนนดิบ X อยู่ใต้ตัวกลางเลขคณิตครึ่งหน่วยความเบี่ยงเบนมาตรฐานคะแนนดิบ X ตัวนี้ก็จะมีค่า Z เป็น –0.5 เป็นต้น

ขั้นตอนในการคำนวณคะแนนมาตรฐานซี มีดังนี้

ขั้นที่ 1 หาค่าตัวกลางเลขคณิต (m) และความเบี่ยงเบนมาตรฐาน (s) ของ

คะแนนชุด X

ขั้นที่ 2 เอาคะแนนดิบ X ตั้งลบด้วย m (ต้องเอา X เป็นตัวตั้งเสมอไม่ว่า X จะมี

ค่ามากหรือน้อยกว่า m ก็ตาม)

ขั้นที่ 3 เอา s หารค่าในขั้นที่ 2

ตัวอย่างที่ 1

จากการวัดความถนัดของนิสิตชั้นปีที่ 1 ของมหาวิทยาลัยแห่งหนึ่ง พบว่าหาตัวกลางเลขคณิต m ได้ 48 และหาความเบี่ยงเบนมาตรฐาน s ได้ 8 ถ้า X เป็น 43 จะเท่ากับ Z เท่าใด

นั่นคือ คะแนนดิบ X = 43 อยู่ใต้ตัวกลางเลขคณิต 0.625 หน่วยความเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ข้อสังเกต บางครั้งโจทย์อาจจะไม่บอกค่า m และ s แต่บอกคะแนนทั้งชุดให้ก่อนที่จะหา Z จะต้องหา m และ s ก่อน โดยใช้สูตรตามที่กล่าวมาแล้ว

จาก Z-score ที่คำนวณได้ นำไปหาพื้นที่ใต้โค้งปกติในลักษณะต่าง ๆ ได้ โดยใช้ตารางหาพื้นที่ใต้โค้งปกติ ซึ่งอยู่ในภาคผนวก

ตัวอย่างที่ 2

ผลการสอบวิชาสถิติของนิสิตกลุ่มหนึ่ง หาตัวกลางเลขคณิต (m) ได้ 16 และความเบี่ยงเบนมาตรฐาน (s) ได้ 5 นิสิต ก. สอบได้ 24.65 คะแนน จงหาพื้นที่ที่อยู่ระหว่างตัวกลางเลขคณิตกับคะแนน 24.65

ในการหาพื้นที่ใต้โค้ง จำเป็นต้องใช้ Z-score เพราะฉะนั้นจะต้องแปลงคะแนนดิบ (X) ที่กำหนดให้เป็น Z-score ก่อนโดยใช้สูตร

ที่ Z-score เท่ากับ 1.73 จากตาราง หาพื้นที่ใต้โค้งได้ 0.4582 หรือ 45.82% ซึ่งเป็นพื้นที่ระหว่างตัวกลางเลขคณิตกับคะแนนของนิสิต ก. เนื่องจากพื้นที่ใต้โค้งทั้งหมด ทางซ้ายของตัวกลางเลขคณิตมีค่า 50% เพราะฉะนั้นสามารถสรุปได้อีกอย่างหนึ่งว่มีพื้นที่ใต้โค้งทั้งหมดอยู่ 95.82% (50% + 45.82%) ที่อยู่ใต้คะแนน 24.65 ซึ่งแสดงว่านิสิต ก. อยู่ในตำแหน่งเปอร์เซ็นต์ไทล์ (Percentile rank) ที่ 95.82 นั่นคือที่ Z = 1.73 แปลได้ว่ามีนิสิตที่ได้คะแนนต่ำกว่านิสิต ก. อยู่ 96 คนใน 100 คน

.4582

0 1.73

รูป 8 แสดงการหาพื้นที่ใต้โค้งระหว่างตัวกลางเลขคณิตกับคะแนน X

ถ้านิสิต ข. สอบได้คะแนน 7.35 แปลงเป็น Z-score ได้ดังนี้

ถ้า Z ติดลบก็ใช้ ตาราง เช่นเดียวกันกับ Z เป็นบวก เพียงแต่อยู่คนละข้างกันเท่านั้น ดังนั้นพื้นที่ใต้โค้งที่อยู่ระหว่างตัวเลขคณิตกับคะแนน 7.35 จึงมีค่าเท่ากับ 45.82% ถ้าจะหาพื้นที่ใต้โค้งที่อยู่ใต้คะแนน 7.35 ทำได้ 2 วิธีคือ วิธีหนึ่งเปิดจาก ตาราง ซึ่งจะได้พื้นที่ใต้โค้ง 0.0418 หรือ 4.18% อีกวิธีหนึ่งคือเอา 45.82% ลบออกจาก 50% จะได้ 4.18% แสดงว่านิสิต ข. อยู่ในตำแหน่งเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 4.18

สำหรับความสัมพันธ์ระหว่าง Raw score, Z-score และ Percentile rank ได้แสดงให้เห็นดังรูป 9 โดยให้

Raw score 20 30 40 50 60 70 80

Z-score -3 -2 -1 0 +1 +2 +3

Percentile rank 0.13 2.28 15.87 50.00 84.13 97.72 99.87

รูป 9 ความสัมพันธ์ระหว่าง Raw score, Z-score และ Percentile rank ของรูปที่มีการแจกแจง

โค้งปกติ ซึ่งมี m = 50 และ s = 10

เนื่องจากค่า Z-SCORE มีค่าติดลบและเป็นทศนิยม นักการศึกษาจึงนิยมแปลงคะแนนZ ให้มีScale ใหญ่ขึ้น ค่าติดลบหรือทศนิยมจะได้หมดไป โดยแปลงให้เป็นคะแนน T โดยที่

T = 10Z+50

จากตัวอย่างที่ 2 ถ้าต้องการหาค่า คะแนน T ของนิสิต ก. ซึ่งได้คะแนน Z =1.73 หาได้ ดังนี้

T = (10 X 1.73)+50

= 67.3

การใช้การแจกแจงปกติมาตรฐานประมาณค่าการแจกแจงแบบทวินาม

เมื่อจำนวนครั้งของการทดลองทวินามมีขนาดใหญ่ ( n ¥ ) สามารถใช้การแจกแจงปกติมาตรฐานประมาณค่าการแจกแจงทวินามได้

ตัวอย่าง จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้หัว 4 ครั้งจากการโยนเหรียญ 8 ครั้ง

n = 8 x = 4 p =0.5 q= 0.5

เปิดตารางความน่าจะเป็นแบบทวินามในภาคผนวก ได้ p = 0.2734

np = 4 npq = 2

เปรียบเทียบกับการประมาณค่าแบบโค้งปกติมาตรฐาน

p ( 4,8,0.5) = p ( 3.5 – 4 <= z <= 4.5 - 4 )

Ö2 Ö 2

= p ( -.354 <= z <= .354 ) เปิดตารางได้พื้นที่ = .1368+.1368

ความน่าจะเป็นที่จะได้หัว 4 ครั้ง = .2736 ซึ่งใกล้เคียงกับการแจกแจงทวินามมาก

2. การแจกแจงแบบ ที (t-Distribution)

ในการสุ่มตัวอย่างประชากร ถ้าประชากรมีขนาดใหญ่ การแจกแจงความน่าจะเป็นของค่าสถิติจะเข้าใกล้การแจกแจงปกติ แต่เมื่อกลุ่มตัวอย่างมีขนาดเล็ก การแจกแจงความน่าจะเป็นของค่าสถิติจะไม่เป็นการแจกแจงปกติแต่จะเป็นการแจกแจงแบบที

คุณสมบัติสำคัญของการแจกแจง ที

1) โค้งการแจกแจงมีลักษณะสมมาตรและระฆังคว่ำ มีศูนย์กลางอยู่ที่ t =0

2) ค่า mean = mode = median คือ 0

3) ความน่าจะเป็นสะสม หรือพื้นที่ใต้โค้ง = 1

4) ความแปรปรวน= df / df –2

5) การแจกแจงที จะมีค่าพิสัยตั้งแต่ - ¥ - +¥

6) การแจกแจง t จะเข้าใกล้การแจกแจงปกติมาตรฐานเมื่อ df มีค่ามาก

เนื่องจากการใช้ค่าการแจกแจงปกติมาตรฐานประมาณค่าหรือทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต (m)จำเป็นต้องทราบความแปรปรวนของประชากรก่อนจึงใช้สถิติ Z แต่ในกรณีที่ไม่ทราบค่าความแปรปรวนของประชากรกลุ่มตัวอย่างจะต้องมีขนาดใหญ่จึงจะใช้ความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่างประมาณค่าความแปรปรวนของประชากรได้ จึงยังสามารถใช้สถิติ Z แต่ในทางปฏิบัติมักไม่ทราบความแปรปรวนของประชากรละกลุ่มตัวอย่างที่ใช้มีขนาดเล็ก จึงต้องใช้การแจกแจงที นอกจากนี้การแจกแจงทีก็นำไปใช้กับกลุ่มตัวอย่างขนาดใหญ่ได้เพราะการแจกแจงที จะเข้าใกล้การแจกแจงปกติมาตรฐานที่มีค่าเฉลี่ยเลขคณิต (m) = 0 ความแปรปรวน = 1 เมื่อองศาอิสระเข้าใกล้ค่าอนันต์

3. การแจกแจงแบบไคสแควร์ (c² - distribution)

การแจกแจงแบบไคสแควร์ ได้มาจากการแจกแจงแบบโค้งปกติ มีหลายรูปแบบ แต่ละรูปแบบจะกำหนดได้ ด้วยค่า df

c² = Z² เมื่อ df = 1 ได้ รูปการแจกแจงใหม่

c² = Z²+Z² เมื่อ df = 2 ได้ รูปการแจกแจงใหม่

ดังรูปการแจกแจงไคสแควร์เมื่อขั้นองศาอิสระมีค่าต่างๆกัน

รูปหน้า 155 (นงนุช)

รูป 10 การแจกแจงไคสแควร์ เมื่อขั้นความเป็นอิสระ =1 , 2 , 4 , 6 , 10

การแจกแจงแบบไคสแควร์ถือว่าเป็น distribution free เพราะการนำไปใช้ไม่ต้องมีข้อตกลงเบื้องต้นเกี่ยวกับการแจกแจงของประชากร การแจกแจงแบบไคสแควร์จึงมีประโยชน์มากมายในการทดสอบความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร หรือทดสอบความเป็นอิสระ (Test of independence) การทดสอบภาวะรูปสนิทดี (Goodness of fit) ทดสอบว่าสิ่งที่กำลังศึกษามีการแจกแจงปกติหรือไม่ นอกจากนี้ยังสามารถใช้ c²ในการทดสอบสมมติฐานทางสถิติเกี่ยวกับความแปรปรวนของประชากรและประมาณค่าความแปรปรวนของประชากรอีกด้วย

คุณสมบัติที่สำคัญของการแจกแจงแบบไคสแควร์

1. รูปร่างเบ้ไปทางด้านบวก ขึ้นอยู่กับdf เมื่อdf เข้าใกล้อนันต์ จะสมมาตร

2. การแจกแจงไคสแควร์ไม่มีค่าติดลบ เพราะเป็นผลรวมกำลังสอง จึงมีค่าพิสัย ตั้งแต่ 0 ถึงอนันต์

3. พื้นที่ใต้โค้งมีค่าเท่ากับ 1

4. ความสูงของโค้งการแจกแจง( ordinate) จะมีค่าใกล้ 0 เมื่อ c²เข้าใกล้¥

4. การแจกแจงแบบเอฟ (F – distribution)

การแจกแจงแบบเอฟ ได้มาจากการแจกแจงโค้งปกติ โดยนำความแปรปรวนของ 2 กลุ่มมาเปรียบเทียบกัน

กลุ่มที่ 1 m₁ s²₁จะได้ความสัมพันธ์

S₁²= s₁²c²_df1

n₁-1

กลุ่มที่ 2 m₂ s₂²จะได้ความสัมพันธ์

S ₂²= s₂²c²_df2

n₂–1

F = c²_df1/ n₁–1 โดยมี df ₁ = n₁–1 และ df ₂ = n₂–1

c²_df2/ n₂-1

การเปรียบเทียบความแตกต่างค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่มตัวอย่างมากกว่า 2 กลุ่มขึ้นไป ถ้าใช้วิธีเปรียบเทียบกลุ่มตัวอย่าง 2 กลุ่มจะทำให้เสียเวลาเพราะต้องทดสอบทีละคู่ นอกจากนี้ยังเพิ่มความคลาดเคลื่อนชนิดที่ 1 มากกว่าที่กำหนดด้วย ดังนั้นจึงควรใช้เทคนิคที่เรียกว่าการวิเคราะห์ความแปรปรวน(Analysis of variance) ซึ่งต้องใช้สถิติ F ทดสอบนัยสำคัญเพื่อสรุปอ้างอิง นอกจากนี้ยังสามารถทดสอบและประมาณค่าความแตกต่างระหว่างความแปรปรวนของประชากร 2 กลุ่ม และการทดสอบสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์พหุคูณ

คุณสมบัติที่สำคัญของการแจกแจงแบบเอฟ

1. การแจกแจงไม่สมมาตร เบ้ไปทางบวก เมื่อ df เข้าใกล้อนันต์ จะสมมาตร

2. ไม่มีค่าลบ มีค่าพิสัย 0- อนันต์

3. พื้นที่ใต้โค้ง มีค่า =1

ข้อตกลงเบื้องต้นของการแจกแจงแบบเอฟ

1. F - distribution กลุ่มตัวอย่างจะต้องสุ่มมาจากประชากรที่มีการแจกแจงปกติ

2. ความแปรปรวนของประชากรในแต่ละกลุ่มจะต้องเท่ากัน

3. ค่าประมาณความแปรปรวน S₁²และ S₂²จะต้องมาจากตัวแปรสุ่มอิสระ (random variable) นั่นคือกลุ่มตัวอย่างจะต้องได้มาโดยวิธีสุ่ม

การแจกแจงความน่าจะเป็นของสถิติทดสอบแบบต่างๆ( Sampling Distribution of statistics)

การแจกแจงความน่าจะเป็นของสถิติทดสอบแบบต่างๆ หมายถึงการแจกแจงความน่าจะเป็นของค่าสถิติได้จากกลุ่มตัวอย่างสุ่ม ซึ่งจะบอกให้ทราบว่าค่าสถิติที่ได้จากกลุ่มตัวอย่างนั้นมีการแปรผันไปเช่นใดบ้าง เพราะค่าสถิติเป็นตัวแปรสุ่ม กลุ่มตัวอย่างกลุ่มหนึ่งก็จะมีค่าค่าหนึ่งแตกต่างกันไป การมีความรู้ความเข้าใจเกี่ยวกับรูปร่างลักษณะการแจกแจงของค่าสถิติของกลุ่มตัวอย่าง มีความจำเป็นมากสำหรับวิชาสถิติ โดยเฉพาะในเรื่องการประมาณค่าและการทดสอบสมมติฐาน การแจกแจงของค่าสถิติที่ควรรู้จักได้แก่

1. การแจกแจงค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่มตัวอย่าง

2. การแจกแจงค่าสัดส่วนของกลุ่มตัวอย่าง

3. การแจกแจงค่าความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง

1. การแจกแจงค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่มตัวอย่าง (Sample Distribution of Sample mean)

เมื่อมีการสุ่มตัวอย่างจำนวน n จากประชากรที่มีค่าเฉลี่ยเลขคณิต =m ความแปรปรวน = s²ตามทฤษฎี Central limit Theorem การแจกแจงของค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่มตัวอย่าง จะมีค่าเฉลี่ย E(X) = m_x= m และความแปรปรวน (s_x²)= s²/n เมื่อประชากรมีขนาดใหญ่เป็น infinite population สุ่มตัวอย่างประชากรแบบแทนที่ และความแปรปรวน( s_x²)= s²N-n เมื่อ มีขนาดเล็กเป็น finite population สุ่มตัวอย่างประชากรแบบไม่แทนที่

n N-1

การแจกแจงความน่าจะเป็นของค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่มตัวอย่าง มีคุณลักษณะ ดังนี้

1) ถ้าประชากรมีขนาดใหญ่ และมีการแจกแจงปกติ จะทำให้การแจกแจงของค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างมีการแจกแจงปกติ

2) ถ้าประชากรมีขนาดใหญ่ แต่ไม่มีการแจกแจงปกติ จะทำให้การแจกแจงของค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างเข้าใกล้การแจกแจงปกติ เมื่อกลุ่มตัวอย่างมีขนาดใหญ่

3) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของการแจกแจงค่าเฉลี่ย จะเท่ากับ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากร m _x= m

4) ค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของการแจกแจงค่าเฉลี่ยหรือค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน

คือ s _x= s/√n เมื่อประชากรมีขนาดใหญ่เป็น infinite population สุ่มตัวอย่างประชากรแบบแทนที่ และค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของการแจกแจงค่าเฉลี่ยs_x = s√N-n

√n √ N-1

เมื่อประชากรมีขนาดเล็กเป็น finite population สุ่มตัวอย่างประชากรแบบไม่แทนที่

รูปหน้า168

รูป 11 การแจงแจกค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่มตัวอย่าง

ในการหาความน่าจะเป็นของประชากรและตัวอย่างประชากรที่มีขนาดใหญ่ สามารถนำตารางNormal Area Table มาใช้ โดยค่าความน่าจะเป็นก็คือพื้นที่ใต้โค้งการแจกแจงปกตินั่นเอง

ค่า Z = X - m เมื่อมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = 0 ความแปรปรวน = 1

s/√n

แล้วนำไปเปิดค่าความน่าจะเป็นหรือพื้นที่จากตารางความน่าจะเป็นแบบปกติ

ดังนั้น การคำนวณหาความน่าจะเป็นที่ X จะมีค่าน้อยกว่า a ที่กำหนดให้หรือไม่หาได้จากสมการ

P (X< a ) = P (Z < a - m ) = P( Z < a - m )

s _xs/√n

2. การแจกแจงค่าสัดส่วนของกลุ่มตัวอย่าง

ในบางครั้งประชากรที่สนใจอาจเป็นข้อความหรือเป็นข้อมูลเชิงคุณภาพ โดยแบ่งประชากรออกเป็น 2 พวกหรือ 2 ลักษณะ เช่น นิสิตชาย (n₁) และนิสิตหญิง(n₂) โดยที่ nคือนิสิตทั้งหมด

p คือพารามิเตอร์ที่แสดงสัดส่วนของประชากร เช่น สัดส่วนของนิสิตหญิง = n₂/n

เมื่อต้องการจะประมาณค่าหรือทดสอบสมมติฐานที่เกี่ยวกับ p จะต้องเลือกกลุ่มตัวอย่างเพื่อหาค่าสัดส่วนของกลุ่มตัวอย่าง (P) แล้วใช้สัดส่วนของกลุ่มตัวอย่างเป็นตัวประมาณค่าหรือทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับ p

จากค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนแบบทวินาม

E(X) = S X. p(X) = np

Var (X) = E( X - m )²= np(1- p)

โดยที่ X คือความสำเร็จที่เกิดขึ้น

ถ้า P คือสัดส่วนของการเกิดความสำเร็จในกลุ่มตัวอย่าง

P = X / n

E(P) = E( X / n ) = 1/n . E(X)

= 1/n . n p

= p

VAR (P) = VAR (X / n)

= 1/n²n.p (1- p)

= p (1- p) กรณี n มีขนาดใหญ่

VAR (P) = p ( 1- p) N-n กรณี n มีขนาดเล็ก

n N-1

เมื่อ Sample proportion มีการแจกแจงปกติหรือเข้าใกล้การแจกแจงปกติสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่สัดส่วนของกลุ่มตัวอย่างจะเท่ากับหรือน้อยกว่าค่าที่กำหนดให้ได้ เนื่องจาก

Z = P - p

s_p

s_p = p ( 1- p) . N-n

√ n N-1

P (P < a ) = P ( Z < a - p )

p ( 1- p) . N-n

Ö n N-1

3. การแจกแจงค่าความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง

เมื่อมีการสุ่มตัวอย่างประชากร n มาจากประชากรที่มีการแจกแจงปกติ การแจกแจงความ

แปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง(S²) จะเป็นการแจกแจงปกติ โดยมี

ค่าเฉลี่ยของความแปรปรวน m _{s 2}= s²(n-1)/n

ความแปรปรวนของค่าความแปรปรวน s² _{s 2} = s²Ö 2/n เมื่อ n มีขนาดใหญ่

ถ้า n มีขนาดเล็ก การแจกแจงความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่างไม่เป็นการแจกแจงปกติ แต่

มีการแจกแจงแบบไคสแควร์ โดยมีองศาอิสระ = n-1

ถ้าองศาอิสระ = 1 c²₍₁₎= Z²

ถ้าองศาอิสระ = n-1 c²_(n-1)= S (n-1)S²

s²

การคำนวณหาความน่าจะเป็นที่จะเลือกกลุ่มตัวอย่างซึ่งมี S²ตามที่กำหนดไว้ คือการหาพื้นที่ใต้โค้งการแจกแจงไคสแควร์นั่นเอง จากสมการ

P (S² > a ) = P (c² > å (n-1) a )

s²

การเลือกกลุ่มตัวอย่างและขนาดของกลุ่มตัวอย่าง

การเลือกกลุ่มตัวอย่างมีความจำเป็นอย่างยิ่งในทางสถิติอ้างอิง ทั้งนี้เนื่องจากการเก็บข้อมูลกับประชากรทุกหน่วยอาจทำให้เสียเวลาและค่าใช้จ่ายที่สูงมากและบางครั้งเป็นเรื่องที่ต้องตัดสินใจภายในเวลาจำกัด การเลือกศึกษาเฉพาะบางส่วนของประชากรจึงเป็นเรื่องที่มีความจำเป็น เรียกว่ากลุ่มตัวอย่าง ดังนั้นกลุ่มตัวอย่าง จึงเป็นส่วนหนึ่งของประชากรที่นำมาศึกษาซึ่งเป็นตัวแทนของประชากร การที่กลุ่มตัวอย่างจะเป็นตัวแทนที่ดีของประชากรเพื่อการอ้างอิงไปยังประชากรอย่างน่าเชื่อถือได้นั้น จะต้องมีการเลือกตัวอย่างและขนาดตัวอย่างที่เหมาะสม ซึ่งจะต้องอาศัยสถิติเข้ามาช่วยในการสุ่มตัวอย่างและการกำหนดขนาดของกลุ่มตัวอย่าง

ประเภทของการเลือกกลุ่มตัวอย่าง

วิธีการเลือกตัวอย่างแบ่งเป็น 2 ประเภทใหญ่ๆ คือ

1. การเลือกตัวอย่างโดยไม่ใช้ความน่าจะเป็น ( Nonprobability sampling )

เป็นการเลือกตัวอย่างโดยไม่คำนึงว่าตัวอย่างแต่ละหน่วยมีโอกาสถูกเลือกมากน้อยเท่าไร

ทำให้ไม่ทราบความน่าจะเป็นที่แต่ละหน่วยในประชากรจะถูกเลือก การเลือกกลุ่มตัวอย่างแบบนี้ไม่สามารถนำผลที่ได้อ้างอิงไปยังประชากรได้ แต่มีความสะดวกและประหยัดเวลาและค่าใช้จ่ายมากกว่า ซึ่งสามารถทำได้หลายแบบ ดังนี้

1.1 การเลือกกลุ่มตัวอย่างแบบบังเอิญ (Accidental sampling) เป็นการเลือกกลุ่มตัวอย่าง

เพื่อให้ได้จำนวนตามต้องการโดยไม่มีหลักเกณฑ์ กลุ่มตัวอย่างจะเป็นใครก็ได้ที่สามารถให้ข้อมูลได้

1.2 การเลือกกลุ่มตัวอย่างแบบโควต้า ( Quota sampling ) เป็นการเลือกกลุ่มตัวอย่างโดย

คำนึงถึงสัดส่วนองค์ประกอบของประชากร เช่นเมื่อต้องการกลุ่มตัวอย่าง 100 คน ก็แบ่งเป็นเพศชาย 50 คน หญิง 50 คน แล้วก็เลือกแบบบังเอิญ คือเจอใครก็เลือกจนครบตามจำนวนที่ต้องการ

1.3 การเลือกกลุ่มตัวอย่างแบบเจาะจง ( Purposive sampling ) เป็นการเลือกกลุ่มตัวอย่างโดยพิจารณาจากการตัดสินใจของผู้วิจัยเอง ลักษณะของกลุ่มที่เลือกเป็นไปตามวัตถุประสงค์ของการวิจัย การเลือกกลุ่มตัวอย่างแบบเจาะจงต้องอาศัยความรอบรู้ ความชำนาญและประสบการณ์ในเรื่องนั้นๆของผู้ทำวิจัย การเลือกกลุ่มตัวอย่างแบบนี้มีชื่อเรียกอีกอย่างว่า Judgement sampling

2. การเลือกตัวอย่างโดยใช้ความน่าจะเป็น ( Probability sampling )

เป็นการเลือกตัวอย่างโดยสามารถกำหนดโอกาสที่หน่วยตัวอย่างแต่ละหน่วยถูกเลือก

ทำให้ทราบความน่าจะเป็นที่แต่ละหน่วยในประชากรจะถูกเลือก การเลือกกลุ่มตัวอย่างแบบนี้สามารถนำผลที่ได้อ้างอิงไปยังประชากรได้ สามารถทำได้หลายแบบ ดังนี้

2.1 การสุ่มตัวอย่างแบบง่าย (Simple random sampling) เป็นการสุ่มตัวอย่างโดยถือว่าทุกๆหน่วยหรือทุกๆสมาชิกในประชากรมีโอกาสจะถูกเลือกเท่าๆกัน การสุ่มวิธีนี้จะต้องมีรายชื่อประชากรทั้งหมดและมีการให้เลขกำกับ วิธีการอาจใช้วิธีการจับสลากโดยทำรายชื่อประชากรทั้งหมด หรือใช้ตารางเลขสุ่มโดยมีเลขกำกับหน่วยรายชื่อทั้งหมดของประชากร

วิธีการจับสลาก โดยทำสลากแบบเดียวกันมีหมายเลขกำกับตามหน่วยย่อยของประชากร ตั้งแต่เลข 1 ถึงเลขสุดท้ายซึ่งเท่ากับจำนวนประชากร แล้วทำการสุ่มจับสลากขึ้นมาทีละใบ จนครบตามขนาดของกลุ่มตัวอย่างที่ต้องการ

วิธีการใช้ตารางเลขสุ่ม โดยมีบัญชีรายชื่อของทุกหน่วยย่อยของประชากร กำหนดหมายเลขประจำหน่วยย่อยของประชากร แล้วกำหนดกฎเกณฑ์การใช้ตารางเลขสุ่ม เช่น สุ่มหลัก (Column) และสุ่มแถว(Row) ของตัวเลขเริ่มต้น แล้วอ่านจากซ้ายไปขวา เมื่อจบแถวให้ขึ้นแถวใหม่ ถ้าได้หมายเลขซ้ำต้องตัดออก จนได้จำนวนครบตามที่ต้องการ

2.2 การสุ่มตัวอย่างแบบเป็นระบบ ( Systematic sampling) เป็นการสุ่มตัวอย่างโดยมีรายชื่อของทุกหน่วยประชากรมาเรียงเป็นระบบตามบัญชีเรียกชื่อ การสุ่มจะแบ่งประชากรออกเป็นช่วงๆที่เท่ากันอาจใช้ช่วงจากสัดส่วนของขนาดกลุ่มตัวอย่างและประชากร แล้วสุ่มประชากรหน่วยแรก ส่วนหน่วยต่อๆไปนับจากช่วงสัดส่วนที่คำนวณไว้ เช่น ต้องการสุ่มนิสิต250คน จากนิสิตทั้งหมด 3000 คน ดังนั้นจึงสุ่มทุกๆ 12 คน เอามา 1 คน สมมติเมื่อสุ่มผู้ที่ตกเป็นตัวอย่างคนแรก ได้หมายเลข 0005 คนที่สองได้แก่หมายเลข 0017 คนที่สามได้แก่หมายเลข 0029 และคนต่อๆไปจะได้หมายเลข 0041 ,0053,0065,…2993 จนครบ 250 คน

2.3 การสุ่มตัวอย่างแบบชั้นภูมิ (Stratified sampling) เป็นการสุ่มตัวอย่างโดยแยกประชากรออกเป็นกลุ่มประชากรย่อยๆ หรือแบ่งเป็นชั้นภูมิก่อน โดยหน่วยประชากรในแต่ละชั้นภูมิจะมีลักษณะเหมือนกัน (homogenious) แล้วสุ่มอย่างง่ายจากแต่ละชั้นเพื่อให้ได้จำนวนกลุ่มตัวอย่างตามสัดส่วนของขนาดกลุ่มตัวอย่างและกลุ่มประชากร

2.4 การสุ่มตัวอย่างแบบกลุ่ม (Cluster sampling ) เป็นการสุ่มตัวอย่างโดยแบ่งประชากร

ออกตามพื้นที่โดยไม่จำเป็นต้องทำบัญชีรายชื่อของประชากร และสุ่มตัวอย่างประชากรจากพื้นที่ดังกล่าวตามจำนวนที่ต้องการ แล้วศึกษาทุกหน่วยประชากรในกลุ่มพื้นที่นั้นๆ หรือจะทำการสุ่มต่อเป็นลำดับขั้นมากกว่า 1 ระดับ โดยอาจแบ่งพื้นที่จากภาค เป็นจังหวัด จาก จังหวัดเป็นอำเภอ และเรื่อยไปจนถึงหมู่บ้าน

นอกจากนี้การสุ่มตัวอย่างยังสามารถเลือกสุ่มตัวอย่างผสมระหว่างแบบง่าย แบบชั้นภูมิและแบบกลุ่มด้วยก็ได้

ขนาดของกลุ่มตัวอย่าง

ขนาดของกลุ่มตัวอย่างมีความสำคัญอย่างมาในการวิจัยเมื่อกลุ่มตัวอย่างมีความเหมาะสมข้อมูลที่ได้จากกลุ่มตัวอย่างมีมากพอก็จะทำให้ผลงานวิจัยนั้นมีคุณค่า ขนาดของกลุ่มตัวอย่างเท่าไรจึงจะเหมาะสมกับการวิจัยขึ้นอยู่กับการวิจัยว่าจะยอมให้เกิดความคลาดเคลื่อนมากน้อยเพียงใด จึงจะยอมรับได้ การหาขนาดตัวอย่างสามารถคำนวณได้จากสูตร ในกรณีต่างๆ ได้ดังนี้

1. การประมาณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากร ยอมให้เกิดความคลาดเคลื่อน e หน่วย ที่

ระดับความเชื่อมั่น (1- µ)%

1.1 ในกรณีที่ประชากรมีจำนวนไม่แน่นอน (Infinite population)

จาก Z = X - m

s_x

s_x= s/Ö n

ทำให้ได้ n = Z² s²

(X - m)²

ดังนั้น n = Z² s²

e²

e คือความคลาดเคลื่อนที่ยอมให้เกิดขึ้นหรือความแตกต่างระหว่าง X - m

ตัวอย่าง สำนักงานสถิติแห่งชาติ ประกาศว่าโดยเฉลี่ยแล้วค่าใช้จ่ายต่อเดือนของครอบครัวขนาดกลางมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 1,200 บาท ถ้าต้องการประมาณค่าใช้จ่ายของครอบครัวขนาดกลาง โดยยอมให้แตกต่างจากค่าใช้จ่ายที่แท้จริง 50 บาทที่ระดับความเชื่อมั่น 95 % จะต้องเลือกตัวอย่างครอบครัวขนาดกลางมากี่ครอบครัว

s= 1,200 e = 50 Z = 1.96

n = Z² s²

e²

ขนาดตัวอย่าง(n) = (1.96)² (1200) ²

50²

= 2212.76

จะต้องเลือกตัวอย่างครอบครัวมา 2213 ครอบครัว

1.2 ในกรณีที่ประชากรมีจำนวนแน่นอน (Finite population) Yamane( 1973)

ได้คิดสูตรที่ใช้ในการคำนวณขนาดของกลุ่มตัวอย่าง คือ

n = N

1+Ne²

e คือความคลาดเคลื่อนที่ยอมให้เกิดขึ้นในรูปของสัดส่วน

ตัวอย่าง ถ้าประชากรที่ศึกษามี 1,800 คน และต้องการให้เกิดความคลาดเคลื่อนในการสุ่มตัวอย่างร้อยละ 5 ขนาดของกลุ่มตัวอย่างควรเป็นเท่าไร

สูตรที่ใช้ในการคำนวณขนาดของกลุ่มตัวอย่าง คือ n = N

1+Ne²

= 1,800 = 327

1+1,800(.05)²

จะต้องเลือกตัวอย่าง 327 คน

2. การประมาณค่าสัดส่วนของประชากร(p) ยอมให้เกิดความคลาดเคลื่อน e % ที่

ระดับความเชื่อมั่น (1- µ)%

2.1 ในกรณีที่ทราบค่า p

จาก Z = P - p

s_p

s_p = p ( 1- p)

√ n

ดังนั้น n = Z ² p ( 1- p)

e²

ตัวอย่าง ถ้าต้องการประมาณค่าสัดส่วนของคนกทม.ที่มีบ้านเป็นของตนเองในปีนี้ให้ผิดพลาดไม่เกิน 3 % ด้วยระดับความเชื่อมั่น 90 % ควรสุ่มตัวอย่างคนในกทม.มากี่คน ถ้าทราบว่าเปอร์เซ็นต์ของคนที่มีบ้านเป็นของตนเองเมื่อ 2 ปีที่ผ่านมา เท่ากับ 60%

p = .60 1- p = 1-0.6 = 0.4

e = 0.03 Z = 1.645 (ที่ระดับความเชื่อมั่นเท่ากับ 90 %)

n = Z² p ( 1- p)

e²

= (1.645)².60 (0.4) = 721.6

(0.03)²

ดังนั้นควรสุ่มตัวอย่างคนในกทม. = 721 คน

ในกรณีที่ไม่ทราบค่า p Yamane ได้หาค่า p ( 1- p) ดังนี้

p ( 1- p)จะมีค่ามากที่สุดเมื่อ p = ½ คือp ( 1- p) = 1/4

ดังนั้น n = Z ²

4 e²

ตัวอย่าง ในการสำรวจความคิดเห็นของนิสิตคณะครุศาสตร์ที่มีต่อวิชาชีพครู ถ้าต้องการให้เกิดความผิดพลาด 2% ที่ระดับความเชื่อมั่น 90% ควรสอบถามนิสิตคณะครุศาสตร์กี่คน

e = 0.02 Z = 1.645

n = Z²

4 e²

= (1.645)²= 1691.265

4(0.02)²

จะต้องสอบถามจากนิสิต 1691 คน

การประมาณค่า ( Estimation )

การประมาณค่า เป็นวิธีการวิเคราะห์ทางสถิติที่มีความสำคัญมาก จะพบว่าในปัจจุบันมีการใช้การประมาณค่าในทุกๆองค์กร เช่นประมาณผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนของนักเรียน เพื่อวางแผนการจัดการเรียนการสอน เป็นต้น การประมาณค่าต่างๆ คือ การประมาณค่าพารามิเตอร์ของประชากร เช่น ค่าเฉลี่ยประชากร(m) ค่าสัดส่วนประชากร (p) ค่าความแปรปรวนของประชากร(s²) โดยใช้ข้อมูลจากกลุ่มตัวอย่าง

ประเภทของการประมาณค่า แบ่งเป็น 2 ประเภท คือ

1. การประมาณค่าแบบจุด (Point Estimation) เป็นการประมาณค่าพารามิเตอร์ ด้วยเลขตัวใดตัวหนึ่งโดยใช้ข้อมูลจากกลุ่มตัวอย่าง เช่น ใช้ค่าเฉลี่ยของตัวอย่างประมาณค่าเฉลี่ยของประชากร ตัวอย่างคือการประมาณค่ารายได้เฉลี่ยของคนในประเทศด้วยรายได้เฉลี่ยของคนในกรุงเทพ เป็นต้น ค่าประมาณแบบจุดนี้อาจจะมีค่าเท่ากับพารามิเตอร์หรือไม่ก็ได้ และมีโอกาสคลาดเคลื่อนไปจากค่าพารามิเตอร์ได้มาก

การประมาณค่าพารามิเตอร์แบบจุด

ประชากรที่มีการแจกแจงแบบใดๆ

พารามิเตอร์ที่ต้องการประมาณ

ค่าประมาณแบบจุด

หนึ่งประชากร

ค่าเฉลี่ยประชากร

ค่าสัดส่วนประชากร

ค่าความแปรปรวนของประชากร

สองประชากร

ผลต่างของค่าเฉลี่ยประชากร

ผลต่างของค่าสัดส่วนประชากร

s²

m ₁- m ₂

p₁ - p₂

S²

X₁ – X₂

P₁ - P₂

2. การประมาณค่าแบบช่วง ( Interval Estimation) เป็นการประมาณค่าพารามิเตอร์ว่าอยู่ในช่วงใดช่วงหนึ่ง โดยใช้ข้อมูลจากกลุ่มตัวอย่าง โดยที่ช่วงของการประมาณค่าจะบอกค่าต่ำสุดและสูงสุด เช่น ใช้ช่วงของค่าเฉลี่ยของตัวอย่างประมาณค่าเฉลี่ยของประชากร ซึ่งมีโอกาสคลาดเคลื่อนไปจากค่าพารามิเตอร์ได้น้อยกว่าการประมาณค่าแบบจุด

การประมาณค่าแบบช่วงนี้ ค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดจะขึ้นอยู่กับระดับความเชื่อมั่น (Level of Confidence) ช่วงของการประมาณค่าจะกว้างหรือแคบขึ้นอยู่กับระดับความเชื่อมั่นและการกระจายของลักษณะประชากรที่สนใจศึกษา ถ้าระดับความเชื่อมั่นสูงและลักษณะที่สนใจศึกษามีการกระจายมาก ช่วงของค่าประมาณจะกว้าง ถ้าระดับความเชื่อมั่นต่ำและลักษณะที่สนใจศึกษามีการกระจายน้อย ช่วงของค่าประมาณจะแคบ

ระดับความเชื่อมั่น หมายถึง โอกาสที่พารามิเตอร์ของประชากรจะอยู่ในช่วงของค่าที่ประมาณได้ เช่น p ( L< m< U ) = .95 หมายถึง โอกาสที่ m จะอยู่ในช่วงของ L และ U เท่ากับ 95% และ p ( m < L ) + p ( m > U ) = .05 หมายถึง โอกาสที่ m จะน้อยกว่า L และมากกว่า U เท่ากับ 5%

การประมาณค่าเฉลี่ยของประชากร ( m ) แบบช่วง

พิจารณาจาก 3 กรณี

1. ประชากรที่มีการแจกแจงแบบปกติ ทราบค่าความแปรปรวนของประชากร

2. ประชากรที่มีการแจกแจงแบบใดๆ กลุ่มตัวอย่างมีขนาดใหญ่ ( n ³ 30)

3. ประชากรที่มีการแจกแจงแบบปกติหรือใกล้เคียง ไม่ทราบค่าความแปรปรวนของประชากรและกลุ่มตัวอย่างมีขนาดเล็ก ( n £ 30)

1. ประชากรที่มีการแจกแจงแบบปกติ ทราบค่าความแปรปรวนของประชากร

ต้องการประมาณค่าเฉลี่ยประชากร (m ) จากค่าเฉลี่ยตัวอย่าง (X)

X ~ normal( m , s²/ n )

p ( L< m< U ) = 1- µ

แปลง X ให้เป็น Z Z = ( X - m ) / s

Ö n

1- µ = p (-Z _1-µ _{/ 2} < Z < Z _1-µ_{/ 2})

= p ( -Z _1-µ _{/ 2}< X - m / s < Z_1-µ _{/ 2})

Ö n

= p ( -Z _{1 -}µ _{/ 2}s < X - m < Z _{1 -}µ _{/ 2}s ) สมการ 1

Ö n Ö n

จากสมการ 1 แยกได้ 2 สมการย่อย

X - m < Z _1-µ _{/ 2}s ) และ X - m > -Z _{1 -}µ _{/ 2} s

Ö n Ö n

X – Z _1-µ _{/ 2}s ) < m และ X + Z _{1 -}µ _{/ 2} s > m

Ö n Ö n

ดังนั้น p (X - Z _1-µ _{/ 2}s < m < X + Z _{1 -}µ _{/ 2}s ) = 1- µ

Ö n Ö n

สรุป ค่าประมาณค่าเฉลี่ยประชากร แบบช่วง ที่ระดับความเชื่อมั่น( 1- µ) = X ± Z_1-µ _{/ 2}s

Ön

ในทำนองเดียวกัน ประชากรที่มีการแจกแจงแบบใดๆ กลุ่มตัวอย่างมีขนาดใหญ่ ( n ³ 30)

และประชากรที่มีการแจกแจงแบบปกติหรือใกล้เคียงแต่ไม่ทราบค่าความแปรปรวนของประชากรและกลุ่มตัวอย่างมีขนาดเล็ก ( n < 30) ตลอดจนการประมาณค่าสัดส่วนประชากร (p) ค่าความแปรปรวนของประชากร(s²) สรุปค่าประมาณแบบช่วงจากประชากรกลุ่มเดียวและสองกลุ่มได้จากตารางดังต่อไปนี้

สรุปค่าประมาณแบบช่วง

พารามิเตอร์ที่ต้องการประมาณค่าของประชากรเดียว

ค่าประมาณแบบช่วง

การประมาณค่าเฉลี่ยประชากร m แบบช่วง

1. ประชากรมีการแจกแจงแบบปกติและทราบค่า s²

2. ประชากรมีการแจกแจงแบบใดๆตัวอย่างมีขนาดใหญ่ (n³30)

2.1 ทราบค่า s²

2.2 ไม่ทราบค่า s²

3. ประชากรมีการแจกแจงแบบปกติแต่ไม่ทราบค่า s²

ตัวอย่างมีขนาดเล็ก (n < 30 )

X ± Z _1-µ _{/ 2}s / Ö n

X ± Z _{1 -}µ _{/ 2}s / Ö n

X ± Z _{1 -}µ _{/ 2}s / Ö n

X ± t _{1 -}µ _{/ 2; n-1}s / Ö n

การประมาณค่าสัดส่วนประชากร pแบบช่วง

ประชากรมีการแจกแจงแบบใดๆตัวอย่างมีขนาดใหญ่ (n³30)

P ± Z _{1 -}µ _{/ 2}Öpq/ n

การประมาณค่าความแปรปรวนประชากร s²แบบช่วง

ประชากรมีการแจกแจงแบบปกติ

( n-1) s² , ( n-1) s²

c²_{1 -}µ _{/ 2}c²µ _{/ 2}

พารามิเตอร์ที่ต้องการประมาณค่าของสองประชากร

ค่าประมาณแบบช่วง

การประมาณค่าผลต่างระหว่างค่าเฉลี่ยของสองประชากรที่มีการสุ่มตัวอย่างสองชุดอย่างเป็นอิสระ

1. ประชากรมีการแจกแจงแบบปกติและทราบค่า s₁²และ s₂²

2. ประชากรมีการแจกแจงแบบใดๆตัวอย่างมีขนาดใหญ่

(n₁, n₂³30)

2.1 ทราบค่า s₁²และ s₂²

2.2 ไม่ทราบค่า s₁²และ s₂²

X₁-X ₂± Z _1-µ _{/ 2}Ös₁²/ n₁+s₂²/n₂

X₁-X ₂± Z_1-µ _{/ 2}Ös₁²/ n₁+s₂²/n₂

X₁- X ₂± Z_1-µ _{/ 2}ÖS₁²/ n₁+S₂²/n₂

3. ประชากรมีการแจกแจงแบบปกติแต่ไม่ทราบค่า s₁²และ s₂² ตัวอย่างมีขนาดเล็ก (n₁, n₂< 30 )

3.1 ไม่ทราบค่า s₁²และ s₂² แต่ทราบว่า s₁²= s₂²

X₁- X ₂± t _{1 -}µ _{/ 2}S_pÖ1/n₁+1/n₂

t _{1 -}µ _{/ 2}ที่องศาอิสระ n₁+n₂-2

S_p= ( n₁-1) S₁²+ ( n₂-1) S₂²

n₁+n₂-2

พารามิเตอร์ที่ต้องการประมาณค่าของสองประชากร

ค่าประมาณแบบช่วง

3.2 ไม่ทราบค่า s₁²และ s₂² แต่ทราบว่า s₁²¹ s₂²

X₁- X ₂± t _1-µ _{/ 2}ÖS₁²/ n₁+ S₂²/n₂

t _{1 -}µ _{/ 2}ที่องศาอิสระ g

g = ( S₁²/ n₁+ S₂²/n₂)²

(S₁²/ n₁)²+ (S₂²/n₂)²

n₁-1 n₂- 2

พารามิเตอร์ที่ต้องการประมาณค่าของสองประชากร

ค่าประมาณแบบช่วง

การประมาณค่าผลต่างระหว่างค่าเฉลี่ยของสองประชากรแบบจับคู่

ประชากรมีการแจกแจงแบบปกติหรือใกล้เคียง n< 30

d ± t _{1 -}µ _{/ 2; n-1} S_d/ Ö n

d_i= x _1I– x _2I

d =åd_i/ n , S_d²=å( d_i- d)²/ ( n-1)

การประมาณค่าผลต่างระหว่างค่าสัดส่วนสองประชากร

(n₁, n₂³30)

(p₁- p₂) +Z_{1 -}µ _{/ 2}Öp₁q₁/n₁+ p₂q₂/n₂

การประมาณค่าอัตราส่วนระหว่างความแปรปรวนของสองประชากร s₁²/ s₂²

S₁²1 S₁²F _1-µ _{/ 2; n2-1,n1-1}

S₂² F _1-µ _{/ 2 ; n1-1,n2-1}S₂²

การทดสอบสมมติฐาน (Test of Hypothesis)

สมมติฐาน คือสิ่งที่คาดว่าจะเกิดขึ้นหรือคำตอบที่คาดว่าจะได้รับจากการศึกษา สมมติฐานจึงมักเป็นข้อสมมุติที่สมเหตุสมผลจากแนวคิดทฤษฎีที่เสนอขึ้นมา แล้วใช้เป็นแนวทางในการสืบสวนค้นคว้า เพื่อทำการตรวจสอบความถูกต้องของสมมติฐาน สมมติฐานที่ใช้อยู่ในการวิจัยจำแนกเป็น 2 ประเภทใหญ่ๆ คือ

1. สมมติฐานทางการวิจัย ( Research Hypothesis ) หมายถึง ข้อความที่เป็นความคาดหวังหรือเป็นคำตอบของการวิจัยไว้ล่วงหน้าโดยอาศัยประสบการณ์ หลักการ ทฤษฎีต่างๆ ซึ่งอาจจะถูกหรือผิดไปจากผลการวิจัยก็ได้

2. สมมติฐานทางสถิติ (Statistical Hypothesis ) หมายถึง ข้อความที่เกี่ยวข้องกับค่าพารามิเตอร์ที่ยังไม่ทราบค่า การตั้งสมมติฐานทางสถิติเพื่อการทดสอบจะต้องประกอบด้วยสมมติฐาน 2 ชนิดทุกครั้ง คือ

1. สมมติฐานว่าง ( Null Hypothesis ) ใช้สัญลักษณ์ H_o คือ สมมติฐานที่ระบุความไม่แตกต่างกันของค่าพารามิเตอร์ จะเห็นว่าสมมติฐานว่าง จะมีเครื่องหมาย เท่ากับ ปรากฏอยู่เสมอ เช่น

H_o : m = 10,000 หมายถึง ค่าเฉลี่ยของกลุ่มประชากรมีค่าเท่ากับ 10,000

H_o : m₁ = m₂หมายถึง ค่าเฉลี่ยของกลุ่มประชากรกลุ่มที่ 1 เท่ากับค่าเฉลี่ยของกลุ่มประชากร กลุ่มที่ 2

2. สมมติฐานแย้ง ( Alternative Hypothesis ) ให้สัญลักษณ์ H_a หรือ H₁หมายถึง ข้อความ

ที่ตรงข้ามกับสมมติฐานว่างที่ต้องการทดสอบ ซึ่งเขียนในลักษณะที่แสดงความแตกต่างของค่าพารามิเตอร์ที่ต้องการทดสอบ โดยที่สมมติฐานว่างและสมมติฐานแย้ง จะอยู่ในทิศทางที่ตรงกันข้ามเสมอ

แบ่งเป็น 2 แบบ

2.1 สมมติฐานทางเลือกที่ไม่แสดงทิศทางของความแตกต่างระหว่างค่าพารามิเตอร์ที่ต้องการทดสอบ ใช้สำหรับการทดสอบ 2 ทาง (Two- tailed Test ) เช่น

H_o : m₁ = m₂( สมมติฐานว่าง )

H₁ : m₁ ¹ m₂( สมมติฐานแย้ง )

2.2 สมมติฐานทางเลือกที่แสดงทิศทางของความแตกต่างระหว่างค่าพารามิเตอร์ที่ต้องการทดสอบ เป็นการกล่าวถึงพารามิเตอร์อย่างเจาะจงว่ามีค่ามากกว่าหรือน้อยกว่า จึงใช้สำหรับการทดสอบทางเดียว (One- tailed Test ) เช่น

H_o : m₁ = m ₂( สมมติฐานว่าง )

H₁ : m₁ > m ₂( สมมติฐานแย้ง ) หรือ

H₁ : m₁ < m ₂

นอกจากนี้ยังสามารถเขียนการเขียนสมมติฐานทางสถิติในรูปของข้อความได้ด้วย เช่น

H_o : รายได้เฉลี่ยต่อเดือนของคนไทยเป็น 10,000 บาท

H₁ : รายได้เฉลี่ยต่อเดือนของคนไทยไม่เท่ากับ 10,000 บาท

ตัวอย่าง การเขียนสมมติฐาน

บริษัทผู้ผลิตหลอดไฟแห่งหนึ่งอ้างว่าหลอดไฟของเขาจะมีอายุการใช้งานเฉลี่ยนานกว่า1,000 ชั่วโมง

และคาดว่าคำอ้างเป็นจริง สมมติฐานจะเขียนได้เป็น

H_o : m = 1000

H₁ : m > 1000

ถ้าคาดว่าคะแนนเฉลี่ยของนักเรียน ม.1 / a เท่ากับนักเรียน ม.1 / b สมมติฐานจะเขียนได้เป็น

H_o : m_a = m_b

H₁ : m_a ¹ m_b

การทดสอบสมมติฐานทางสถิติ

การทดสอบสมมติฐานทางสถิติ เป็นการตัดสินใจผลที่ได้จากการเปรียบเทียบระหว่างค่าสถิติที่ได้จากกลุ่มตัวอย่างกับค่าพารามิเตอร์ตามสมมติฐานว่างที่กำหนดไว้ล่วงหน้า (สมมติค่าพารามิเตอร์ของประชากร) โดยอาศัยเกณฑ์ที่ตั้งไว้ ผลที่ได้จากการทดสอบสมมติฐานทางสถิติ มี 2 ลักษณะ คือ

1) การยอมรับหรือคงสมมติฐาน หมายความว่า ความแตกต่างของค่าสถิติที่คำนวณได้จากกลุ่มตัวอย่างกับค่าพารามิเตอร์ตามสมมติฐานว่าง มีขนาดต่างกันเล็กน้อยและความแตกต่างนั้นอยู่ภายในขอบเขตที่ยอมรับได้ และถือได้ว่าเป็นความแตกต่างโดยบังเอิญอันเนื่องมาจากความคลาดเคลื่อนจากการสุ่มตัวอย่างหรือลักษณะเฉพาะของกลุ่มตัวอย่างประชากรนั้น อันมิใช่ความแตกต่างที่แท้จริง จึงกล่าวได้ว่าการทดสอบไม่มีนัยสำคัญ จึงยอมรับหรือคงสมมติฐานว่างไว้

2) การปฏิเสธสมมติฐาน หมายความว่า ความแตกต่างของค่าสถิติที่คำนวณได้จากกลุ่มตัวอย่างกับค่าพารามิเตอร์ตามสมมติฐานว่าง มีขนาดต่างกันมากและความแตกต่างนั้นมากเกินขอบเขตที่ยอมรับได้ และถือได้ว่าเป็นความแตกต่างที่แท้จริง ไม่ใช่บังเอิญ จึงกล่าวได้ว่าการทดสอบมีนัยสำคัญ จึงปฏิเสธสมมติฐานว่างที่ตั้งไว้และยอมรับสมมติฐานแย้ง

ความผิดพลาดในการทดสอบสมมติฐานทางสถิติ

เนื่องจากการตัดสินใจยอมรับหรือปฏิเสธสมมติฐานว่าง ขึ้นอยู่กับสถิติที่ใช้ทดสอบ ซึ่งคำนวณได้จากกลุ่มตัวอย่างมิใช่จากกลุ่มประชากร จึงอาจทำให้การตัดสินใจถูกต้องหรืออาจเกิดความคลาดเคลื่อนได้ ดังนี้

1. ความผิดพลาดประเภทที่ 1 (Type I Error ) เป็นความผิดพลาดเนื่องจากการปฏิเสธ H_o

หรือไม่ยอมรับ H_o เมื่อ H_o เป็นจริง ใช้สัญลักษณ์ a โดยที่a = P ( ปฏิเสธ H_o โดยที่ H_o เป็นจริง )

2. ความผิดพลาดประเภทที่ 2 ( Type II Error ) เป็นความผิดพลาดเนื่องจากการยอมรับ H_o

โดยที่ H_o ไม่เป็นจริง และใช้สัญลักษณ์ b แทนความผิดพลาดประเภทนี้ โดยที่ b = P ( ยอมรับ H_o

โดยที่ H_oไม่เป็นจริง )

แสดงผลการทดสอบและความผิดพลาดในการทดสอบ

ผลการทดสอบ	ความเป็นจริง
ผลการทดสอบ	H_o เป็นจริง	H_o ไม่เป็นจริง
ยอมรับ H_o	ผลการทดสอบถูกต้อง	ความผิดพลาดประเภทที่ 2 (b)
ปฏิเสธ H_o	ความผิดพลาดประเภทที่ 1 (a)	ผลการทดสอบถูกต้อง

ระดับความมีนัยสำคัญ

ระดับความมีนัยสำคัญ หมายถึง ความน่าจะเป็นในการปฏิเสธสมมติฐานว่างที่ถูก จึงเป็นโอกาสของความคลาดเคลื่อนประเภทที่ 1 โดยทั่วไปนิยมใช้สัญลักษณ์ a แทนระดับการมีนัยสำคัญ เช่น a=0.05

ระดับความเชื่อมั่น

ระดับความเชื่อมั่น หมายถึง ความน่าจะเป็นในการยอมรับสมมติฐานว่างที่ถูก (1-a) โดยทั่วไปนิยมคำนวณเป็น ค่าร้อยละ เช่น ระดับความเชื่อมั่นเท่ากับ 95 %

บริเวณวิกฤตหรือเขตการปฏิเสธ (Critical Region)

บริเวณวิกฤต (Critical Region) เป็นขอบเขตที่กำหนดตามระดับการมีนัยสำคัญ ถ้าค่าสถิติที่คำนวณได้ตกอยู่ในขอบเขตนี้ ถือว่าการทดสอบนั้นมีนัยสำคัญ (Significance)

หลักการทดสอบสมมติฐานทางสถิติ

การทดสอบสมมติฐานทางสถิติ เป็นการตัดสินใจเชิงสถิติเกี่ยวกับค่าพารามิเตอร์ของประชากรว่ามีความแตกต่างกันหรือไม่ ด้วยการใช้ข้อมูลค่าสถิติจากกลุ่มตัวอย่างเพื่อคำนวณค่าสถิติทดสอบและตัดสินใจคงสมมติฐานว่างหรือปฏิเสธสมมติฐานว่างตามหลักเกณฑ์ที่กำหนด ทำให้สามารถสรุปผลเกี่ยวกับค่าพารามิเตอร์ของประชากรได้

ขั้นตอนของการทดสอบสมมติฐาน

ขั้นที่1 ตั้งสมมติฐานเพื่อการทดสอบ สำหรับการทดสอบแบบทางเดียว หรือ สองทางโดยตั้งสมมติฐาน H_oและH₁

ขั้นที่2 กำหนดสถิติเพื่อการทดสอบ

1) การทดสอบเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยของประชากร 1 กลุ่ม ใช้สถิติทดสอบ Z และ t-test

2) การทดสอบเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยของประชากร 2 กลุ่ม ใช้สถิติทดสอบ Z และ t-test

ขั้นที่3 คำนวณค่าสถิติทดสอบ โดยนำข้อมูลที่ได้มาแทนค่าในสูตรคำนวณค่าสถิติทดสอบ

ขั้นที่4 กำหนดระดับนัยสำคัญ โดยทั่วไปมักกำหนดให้ค่า a เท่ากับ 0.01 หรือ0.05

ขั้นที่5 กำหนดบริเวณวิกฤตที่เป็นเขตปฏิเสธสมมติฐาน H_oคือการหาค่าวิกฤต ซึ่งเป็นค่าที่แบ่งเขตปฏิเสธและเขตยอมรับ H_oค่าวิกฤตนี้ขึ้นอยู่กับประเภทของการทดสอบ ว่าเป็นการทดสอบแบบทางเดียวหรือสองทาง

การกำหนดบริเวณวิกฤตแบบทางเดียว

H₀ : m £ m _o หรือ 2. H₀ : m ³ m _o

_H₁: m > m _o_H₁: m < m _o

ช่วงความเชื่อมั่น a a ช่วงความเชื่อมั่น

0 บริเวณวิกฤต บริเวณวิกฤต 0

ค่าวิกฤต ค่าวิกฤต

การกำหนดบริเวณวิกฤตแบบสองทาง

H₀ : m = m _o

_H₁: m ¹ m _o

a/ 2 ช่วงความเชื่อมั่น a/ 2

บริเวณวิกฤต 0 บริเวณวิกฤต

ค่าวิกฤต

ขั้นที่6 สรุปผลการทดสอบ โดยนำค่าสถิติทดสอบที่คำนวณได้จากขั้นที่ 3 มาเปรียบเทียบกับค่าวิกฤต ในขั้นที่ 5 ถ้าค่าสถิติทดสอบอยู่ในเขตปฏิเสธ จะสรุปว่าปฏิเสธ H_oแต่ถ้าค่าสถิติทดสอบอยู่ในเขตยอมรับ จะสรุปว่ายอมรับ H_o

ประเภทของการทดสอบสมมติฐาน

การทดสอบสมมติฐานทางสถิติ แบ่งเป็น

1. การทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยของประชากรเดียว (m )

1. การทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยประชากรเมื่อประชากรมีการแจกแจงแบบปกติ และทราบค่า

แปรปรวนประชากร

สมมติฐาน

H₀ : m £ m _o หรือ 2. H₀ : m ³ m _oหรือ 3. H₀ : m = m _o

_H₁: m > m _o_H₁: m < m _o_H₁: m ¹ m _o

สถิติทดสอบ Z = C - m _o

s / Ö n

2. การทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยประชากร เมื่อประชากรมีการแจกแจงแบบใด ๆ และขนาดตัวอย่างใหญ่ (> 30 ) เมื่อทราบค่าแปรปรวนประชากร

สถิติทดสอบ Z = C - m _o

s / Ö n

เมื่อไม่ทราบค่าแปรปรวนประชากร

Z = C - m _o

s / Ö n

3. การทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยประชากร เมื่อไม่ทราบค่าแปรปรวนประชากรและตัวอย่างมีขนาดเล็ก ( n < 30 )

t = C - m _o

s / Ö n

สมมติฐานแย้ง

เขตปฏิเสธ H₀

1. _H₁: m > m _o

2. _H₁: m < m _o

3. _H₁: m ¹ m _o

t > t_{1 -}_a_: _n-1

t < - t_{1 -}_a_: _n-1

½ t ½ > t_{1
-}_a_{/ 2 :} _n-1

ตัวอย่าง ผู้อำนวยการโรงเรียนแห่งหนึ่งคาดว่าปริมาณกระดาษที่ใช้ในการถ่ายเอกสารในโรงเรียนจะไม่ต่ำกว่า 880 แผ่นต่อวัน จึงเก็บข้อมูลปริมาณกระดาษที่ใช้ถ่ายเอกสารต่อวันมา 50 วัน คำนวณได้ปริมาณเฉลี่ย 871 แผ่นต่อวัน ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 21 แผ่น การคาดคะเนของผู้อำนวยการโรงเรียนถูกต้องหรือไม่ที่ระดับนัยสำคัญ 0.05

H₀ : m ³ 880

_H₁: m < 880

สถิติที่ใช้

Z = C - m _o

s / Ö n

= 871- 880

21 / Ö50

= - 3.03

การตัดสินใจจะปฏิเสธ H₀ ถ้า Z ที่คำนวณได้ น้อยกว่า -1.67

สรุปผล ค่า Z ที่คำนวณได้ น้อยกว่า -1.67 จึงปฏิเสธ H₀ นั่นคือ การคาดคะเนของผู้อำนวยการโรงเรียนไม่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่าโรงเรียนแห่งนี้ใช้กระดาษเพื่อถ่ายเอกสาร น้อยกว่า 880 แผ่นต่อวันอย่างมีนัยสำคัญทางสถิติที่ระดับ 0.05

แบบฝึก ผู้ผลิตไอศครีมรายหนึ่งเชื่อว่าไอศครีมของเขาประกอบด้วยแคลอรี่เฉลี่ย 500 แคลอรี่ต่อไอศครีมหนัก 1 กรัม เขาจึงสุ่มไอศครีมหนักก้อนละ 1 กรัมมา 25 ก้อน คำนวณปริมาณแคลอรี่เฉลี่ยได้ 510 แคลอรี่ต่อกรัม และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 23 แคลอรี่ อยากทราบว่าสิ่งที่ผู้ผลิตเชื่อจริงหรือไม่ ที่ระดับนัยสำคัญ .10 ถ้าปริมาณแคลอรี่ในไอศครีมหนัก 1 กรัมมีการแจกแจงใกล้เคียงกับการแจกแจงแบบปกติ

วิธีทำ H₀: ……………………………………………………………………………………..

_H₁: ……………………………………………………………………………………….

สถิติทดสอบ

………………………………………………………………………………………………………………………

บริเวณวิกฤต

………………………………………………………………………………………………………………………

สรุปผลการทดสอบ

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝึก ถ้าเชื่อกันว่านักศึกษาหญิงที่มีอายุ 17 – 22 ปี ในปี 2538 จะมีความสูงเฉลี่ยมากกว่า ความสูงเฉลี่ยของนักศึกษาที่มีอายุ 17 – 22 ปีในปี 2530 และทราบว่าความสูงของนักศึกษาหญิงมีการแจกแจงแบบปกติ ส่วนความสูงเฉลี่ยของนักศึกษาหญิงปี 2530 เป็น 64.3 นิ้ว ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 2.1 นิ้ว จึงสุ่มนักศึกษาหญิง ( ปี 2538 ) ที่มีอายุในช่วง 17 – 22 ปี จำนวน 33 คน วัดความสูงและคำนวณได้ความสูงเฉลี่ยเป็น 65.4 นิ้ว จงทดสอบความเชื่อข้างต้นที่ระดับนัยสำคัญ 0.01 ถ้าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของความสูงของนักศึกษาหญิงในปี 2538 เท่ากับของปี 2530

วิธีทำ H₀: ……………………………………………………………………………………..

_H₁: ……………………………………………………………………………………..

สถิติทดสอบ

………………………………………………………………………………………………………………………

บริเวณวิกฤต

………………………………………………………………………………………………………………………

สรุปผลการทดสอบ

………………………………………………………………………………………………………………………

2. การทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับค่าสัดส่วนประชากร (p )

Z = p - p₀

Ö p₀ q₀ / n

แบบฝึก บริษัทขายเครื่องสำอางยี่ห้อ PS คาดว่าผู้หญิงไทยใช้เครื่องสำอางยี่ห้อ PS อย่างน้อย 20 % จึงสุ่มตัวอย่างผู้ลิตไทยมา 500 คน ปรากฏว่ามีผู้ใช้ระบุว่าใช้เครื่องสำอางยี่ห้อ PS 95 คน อยากทราบว่าสิ่งที่บริษัทคาดไว้เป็นจริงหรือไม่ที่ระดับนัยสำคัญ .10

วิธีทำ H₀: ……………………………………………………………………………………..

_H₁: ……………………………………………………………………………………..

สถิติทดสอบ

………………………………………………………………………………………………………………………

บริเวณวิกฤต

………………………………………………………………………………………………………………………

สรุปผลการทดสอบ

………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝึก ถ้าสมาคมต่อต้านการสูบบุหรี่คาดว่าผู้ที่สูบบุหรี่จะเป็นผู้หญิง 15 % จึงสุ่มตัวอย่างผู้สูบบุหรี่มา 200 คน พบว่าเป็นผู้หญิง 21 คน อยากทราบว่าสิ่งที่สมาคมต่อต้านการสูบบุหรี่เชื่อเป็นจริงหรือไม่ ถ้าให้ระดับนัยสำคัญ = .05

วิธีทำ H₀: ……………………………………………………………………………………..

_H₁: ……………………………………………………………………………………..

สถิติทดสอบ

………………………………………………………………………………………………………………………

บริเวณวิกฤต

………………………………………………………………………………………………………………………

สรุปผลการทดสอบ

………………………………………………………………………………………………………………………

3. การทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับค่าแปรปรวนประชากร (s ² )

c² = ( n – 1 ) S²

s²₀

แบบฝึก ฟาร์มแห่งหนึ่งผลิตนมสดออกจำหน่ายโดยใส่ขวด ๆ ละ 1 ลิตร และจากการตรวจสอบมักจะพบว่าปริมาณนมสดมักจะไม่เท่ากับ 1 ลิตร เจ้าของฟาร์มเชื่อว่าปริมาณนมในขวด 1 ลิตร จะมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน .1 ลิตร ถ้าต้องการทดสอบความเชื่อดังกล่าวจึงสุ่มตัวอย่างมา 28 ขวด คำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานได้ .13 ลิตร กำหนด a = .05 ถ้าปริมาณนมสดในขวดขนาด 1 ลิตร มีการแจกแจงแบบปกติ

วิธีทำ H₀: ……………………………………………………………………………………..

_H₁: ……………………………………………………………………………………..

สถิติทดสอบ

………………………………………………………………………………………………………………………

บริเวณวิกฤต

………………………………………………………………………………………………………………………

สรุปผลการทดสอบ

………………………………………………………………………………………………………………………

4. การทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับผลต่างระหว่างค่าเฉลี่ยของสอง ประชากร ( m ₁ - m₂ )

ค่าเฉลี่ย

ค่าแปรปรวน

ประชากรที่ 1

ประชากรที่ 2

m ₁

m₂

s²₁

s²₂

ขนาดตัวอย่าง

ค่าเฉลี่ย

ค่าแปรปรวน

ตัวอย่างที่สุ่มจากประชากรที่ 1

ตัวอย่างที่สุ่มจากประชากรที่ 2

n₁

n₂

C₁

C₂

S²₁

S²₂

1. การทดสอบแบบทางเดียว

H₀: m₁ - m₂ £ d₀ หรือ H₀: m₁ - m₂ ³ d₀

H₁: m₁ - m₂ > d₀ H₁: m₁ - m₂ < d₀

2. การทดสอบแบบ 2 ทาง

H₀: m₁ - m₂ = 0 ถ้า d₀= 0 หรือ H₀: m₁ = m₂

H₁: m₁ - m₂ ¹ 0H₁: m₁¹ m₂

สถิติที่ใช้ทดสอบ

สามารถใช้สถิติ Z – test และ t – test ขึ้นอยู่กับข้อตกลงเบื้องต้นของการใช้สถิติแต่ละตัว

4.1 การทดสอบความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยสองประชากร โดยใช้ Z – test

ข้อตกลงเบื้องต้นของ Z – test

1. กลุ่มตัวอย่างทั้ง 2 เป็นอิสระต่อกัน

2. ค่าของตัวแปรตามในแต่ละหน่วยเป็นอิสระกัน

3. กลุ่มตัวอย่างได้มาอย่างสุ่มจากประชากรที่มีการแจกแจงแบบปกติและมีขนาดใหญ่(>30)

4. ทราบค่าความแปรปรวนของแต่ละประชากร

H₀: m₁ - m₂ = d₀ ถ้า d₀= ค่าคงที่ หรือ H₀: m₁= m₂

สถิติทดสอบ Z = (X₁-X₂)- d₀

Ös₁²/ n₁+s₂²/n₂

ถ้าไม่ทราบค่า s₁²และ s₂²แทนค่าด้วย S₁²และ S₂²

4.2 การทดสอบความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยสองประชากร โดยใช้ t – test ( Independent )

ข้อตกลงเบื้องต้นของ t – test ( Independent )

1. กลุ่มตัวอย่างทั้ง 2 เป็นอิสระต่อกัน

2. ค่าของตัวแปรตามในแต่ละหน่วยเป็นอิสระกัน

3. กลุ่มตัวอย่างได้มาอย่างสุ่มจากประชากรที่มีการแจกแจงแบบปกติหรือใกล้เคียงและมีขนาดเล็ก

4. ไม่ทราบค่าความแปรปรวนของแต่ละประชากร

H₀: m₁ - m₂ = d₀ ถ้า d₀= ค่าคงที่ หรือ H₀: m₁= m₂

มี 2 เงื่อนไข คือ ในกรณีที่ s₁²= s₂²กับ ในกรณีที่ s₁²¹ s₂²

สูตรสถิติทดสอบ ในกรณีที่ s₁²= s₂²

t = (X₁- X₂) - d₀ในกรณีที่ s₁²= s₂²

S_pÖ1/n₁+1/n₂

โดยที่ S_p= ( n₁-1) S₁²+ ( n₂-1) S₂²

n₁+n₂-2

ที่องศาอิสระ n₁+n₂-2

สูตรสถิติทดสอบ ในกรณีที่ s₁²¹ s₂²

t = (X₁-X₂)- d₀ในกรณีที่ s₁²¹ s₂²

ÖS₁²/ n₁+ S₂²/n₂

ที่องศาอิสระ (S₁²/ n₁+ S₂²/n₂)²

(S₁²/ n₁)²+ (S₂²/n₂)²

n₁-1 n₂- 2

ตัวอย่าง จากการที่มีนิสิตร้องเรียนอาจารย์ผู้สอนวิชาสถิติว่าการอนุญาตให้ใช้เครื่องคิดเลขในการสอบจะทำให้เกิดการได้เปรียบเสียเปรียบของคะแนนสอบเกินกว่า 15 % เนื่องจากความแตกต่างกันของเครื่องคิดเลข อาจารย์ผู้สอนจึงต้องการทดสอบข้อร้องเรียนของนิสิต โดยการสุ่มตัวอย่างนิสิตมา 45 คน แล้วแบ่งนิสิตออกเป็น 2 กลุ่มอย่างสุ่ม กลุ่มที่ 1 มีนิสิต 23 คน ให้สอบโดยใช้เครื่องคิดเลข กลุ่มที่ 2 มีนิสิต 22 คน ให้สอบข้อเดียวกันโดยไม่ให้ใช้เครื่องคิดเลข โดยที่ข้อสอบนั้นเป็นข้อสอบที่มีการคำนวณมาก ปรากฎว่าได้ข้อมูลดังนี้

	คะแนนเฉลี่ย	ค่าความแปรปรวน	ขนาดตัวอย่าง
ใช้เครื่องคิดเลข	80.7	49.5	23
ไม่ใช้เครื่องคิดเลข	78.9	60.4	22

จากข้อมูลที่ได้ จงทดสอบว่าคะแนนเฉลี่ยของกลุ่มที่ใช้เครื่องคิดเลขจะมากกว่าคะแนนเฉลี่ยของกลุ่มที่ไม่ใช้เครื่องคิดเลขไม่เกิน 15 % ( 15 คะแนน ข้อสอบคะแนนเต็ม 100 ) กำหนดระดับนัยสำคัญ = .10 และทราบว่าคะแนนสอบของทั้ง 2 กลุ่มมีการแจกแจงแบบปกติ ที่มีค่าแปรปรวนเท่า กัน H₀: m₁- m₂≤ 15

_H₁: m₁- m₂> 15

สถิติที่ใช้

t = (X₁- X₂) - d₀

S_pÖ1/n₁+1/n₂

โดยที่ S_p= ( n₁-1) S₁²+ ( n₂-1) S₂²ที่องศาอิสระ n₁+n₂-2

n₁+n₂-2

= (23-1)49.5 + (22-1)60.4

23+22-2

= 1089+1268.4

= 54.82

t = 80.7 - 78.9 –15

54.82Ö1/23+1/22

= -13.2 = -0.80

54.8250.297

การตัดสินใจจะปฏิเสธ H₀ ถ้า t ที่คำนวณได้ มากกว่า t _{43 (.90)} = 1.303

สรุปผล ค่า t ที่คำนวณได้น้อยกว่า 1.303 จึงคงสมมติฐาน H₀ นั่นคือ คะแนนเฉลี่ยของกลุ่มที่ใช้เครื่องคิดเลขจะมากกว่าคะแนนเฉลี่ยของกลุ่มที่ไม่ใช้เครื่องคิดเลขไม่เกิน 15 % อย่างมีนัยสำคัญทางสถิติที่ระดับ 0.10

แบบฝึก ครูในโรงเรียนแห่งหนึ่งต้องการทราบว่าการสอนแบบการสร้างผังความคิดจะเพิ่มคะแนนเฉลี่ยวิชาชีววิทยาของนักเรียนหรือไม่ จึงเก็บข้อมูลคะแนนสอบวิชาชีววิทยาของนักเรียน 2 ห้องโดยห้องแรกเรียนตามปกติ มีนักเรียน50 คน ห้องที่สองเรียนแบบการสร้างผังความคิดมีนักเรียน 30 คนได้คะแนนเฉลี่ยของนักเรียนห้องแรก 12.55 คะแนน ห้องที่สอง 13.30 คะแนน ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานห้องแรก เป็น 2.15 คะแนน ห้องที่สอง 2.38 คะแนน จากข้อมูลที่มีอยู่จะทำให้ครูสรุปได้หรือไม่ว่าการสอนแบบการสร้างผังความคิดทำให้คะแนนเฉลี่ยวิชาชีววิทยา เพิ่มขึ้น โดยกำหนดให้ a = .05

ทั้ง 2 กลุ่มมีการแจกแจงแบบปกติ ที่มีค่าแปรปรวนไม่เท่ากัน

วิธีทำ H₀: ……………………………………………………………………………………..

_H₁: ……………………………………………………………………………………..

สถิติทดสอบ

………………………………………………………………………………………………………………………

บริเวณวิกฤต

………………………………………………………………………………………………………………………

สรุปผลการทดสอบ

………………………………………………………………………………………………………………………

4.3 การทดสอบความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยสองประชากร โดยใช้ Dependent or paired t – test

ข้อตกลงเบื้องต้นของ t – test ( Dependent or paired t – test )

1. ข้อมูล 2 ชุดได้มาจากกลุ่มตัวอย่างเดียวกัน หรือมาจากกลุ่มตัวอย่าง 2 กลุ่มที่สัมพันธ์กัน

2. ค่าของตัวแปรตามในแต่ละหน่วยเป็นอิสระกัน

3. กลุ่มตัวอย่างได้มาอย่างสุ่มจากประชากรที่มีการแจกแจงแบบปกติหรือใกล้เคียง

4. ไม่ทราบค่าความแปรปรวนของแต่ละประชากร

H₀: m₁ - m₂ = d₀ ถ้า d₀= ค่าคงที่ หรือ H₀: m_d= d₀

สถิติทดสอบ

t = d- d₀

S_d/ Ö n

d_i= x _1i– x _2id = å d_i/ n , S_d²= å( d_i- d )²/ ( n-1)

แบบฝึก ในการทดสอบคุณภาพของยางรถยนต์ 2 ยี่ห้อ คือ A และ B จึงสุ่มตัวอย่างยางรถยนต์มายี่ห้อละ 5 อัน แล้วใส่ยางรถยนต์ยี่ห้อละ 1 อันที่ล้อหลังของรถยนต์แต่ละคัน ดังนั้นจึงต้องใช้รถยนต์ 5 คัน แล้วให้รถยนต์ทุกคันวิ่งจนกว่ายางจะเสีย โดยบันทึกระยะทางที่วิ่งได้ดังนี้

ระยะทางที่วิ่งได้ ( หน่วย : 10,000 กิโลเมตร )

รถยนต์คันที่

ยางรถยนต์ A

ยางรถยนต์ B

1

10.6

9.8

12.3

9.7

8.8

10.2

9.4

11.8

9.1

8.3

อยากทราบว่าคุณภาพของยางรถยนต์ทั้ง 2 ยี่ห้อนี้แตกต่างกันหรือไม่ กำหนดระดับนัยสำคัญ = .05 ถ้าอายุการใช้งานของยางรถยนต์มีการแจกแจงแบบปกติ

วิธีทำ H₀: ……………………………………………………………………………………..

_H₁: ……………………………………………………………………………………..

สถิติทดสอบ

………………………………………………………………………………………………………………………

บริเวณวิกฤต

………………………………………………………………………………………………………………………

สรุปผลการทดสอบ

………………………………………………………………………………………………………………………

5. การทดสอบความแตกต่างระหว่างสัดส่วนสองประชากร( โดยใช้ Z – test)

H₀: P₁ - P₂ = P₀ ถ้า P₀= ค่าคงที่

สถิติทดสอบ Z = ( p₁- p₂) - p₀

Ö(p₁q₁/n₁)+ (p₂q₂/n₂)

การทดสอบความแตกต่างระหว่างค่าความแปรปรวนสองประชากร

H₀: s₁²= s₂²

สถิติทดสอบ F = S₁²

S₂²

S₁²>S₂²ที่องศาอิสระ n₁ – 1 และ n₂ – 2

แบบฝึก ผู้จัดการบริษัทขายเครื่องซักผ้ายี่ห้อ A เชื่อว่า เครื่องซักผ้ายี่ห้อ A มีสัดส่วนสินค้าเสียภายในระยะประกัน ไม่เท่ากับสัดส่วนของเครื่องยี่ห้อ B จึงสุ่มเครื่องซักผ้ายี่ห้อ A และ B ที่ขายให้ลูกค้าในปีที่แล้วจำนวน 100 เครื่องและ 120 เครื่อง ตามลำดับ พบว่าเครื่องซักผ้าตัวอย่างยี่ห้อ A และ B ที่เสียในระยะประกันมี 5 และ 9 เครื่อง ตามลำดับ จงทดสอบความเชื่อของผู้จัดการ ที่ระดับนัยสำคัญ .10 ถ้าอายุการใช้งานของเครื่องซักผ้ามีการแจกแจงแบบปกติ

วิธีทำ H₀: ……………………………………………………………………………………..

_H₁: ……………………………………………………………………………………..

สถิติทดสอบ

………………………………………………………………………………………………………………………

บริเวณวิกฤต

………………………………………………………………………………………………………………………

สรุปผลการทดสอบ

………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝึก ถ้าต้องการเปรียบเทียบผลการรักษาโรคมะเร็ง 2 วิธี จึงสุ่มคนไข้ที่ได้รับการรักษามาวิธีละ 100 คน พิจารณาผลของการรักษาโดยการตรวจสอบอาการ ( เชื้อโรค ) ที่เกิดขึ้นอีก ในช่วง 2 ปีนับจากได้รับการรักษา ได้ข้อมูลดังนี้

วิธีรักษา

จำนวนคนไข้

จำนวนคนไข้ที่ไม่มีอาการของโรคใน 2 ปี

1

100

จงทดสอบว่าการรักษาโรคมะเร็งวิธีที่ 2 ได้ผลดีกว่าวิธีที่ 1 อย่างน้อย 15 % กำหนดระดับนัยสำคัญ = .10

วิธีทำ H₀: ……………………………………………………………………………………..

_H₁: ……………………………………………………………………………………..

สถิติทดสอบ

………………………………………………………………………………………………………………………

บริเวณวิกฤต

………………………………………………………………………………………………………………………

สรุปผลการทดสอบ

………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝึก ถ้านักลงทุนเชื่อกันว่าหุ้นของบริษัท A มีความเสี่ยงมากกว่าหุ้น B โดยที่ความเสี่ยงวัดด้วยราคาหุ้นที่แปรผันไปในแต่ละวัน จึงมีการทดสอบความเชื่อข้างต้น โดยสุ่มราคาหุ้น A มา 25 วันและราคาหุ้น B มา 4วัน คำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานได้ S_A = .76 S_B = .46 กำหนดระดับนัยสำคัญ = .05

วิธีทำ H₀: ……………………………………………………………………………………..

_H₁: ……………………………………………………………………………………..

สถิติทดสอบ

………………………………………………………………………………………………………………………

บริเวณวิกฤต

………………………………………………………………………………………………………………………

สรุปผลการทดสอบ

………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝึก ถ้าต้องการเปรียบเทียบค่าแปรปรวนของ 2 ประชากรว่าเท่ากันหรือไม่ โดยที่ประชากรทั้ง 2 มีการแจกแจงแบบปกติ จึงสุ่มตัวอย่างจากประชากรทั้ง 2 อย่างเป็นอิสระกัน และได้ข้อมูลดังนี้

n₁ = 8 n₂ = 12 S₁ = 4.85 S₂ = 6.35 กำหนดระดับนัยสำคัญ = 0.10

วิธีทำ H₀: ……………………………………………………………………………………..

_H₁: ……………………………………………………………………………………..

สถิติทดสอบ

………………………………………………………………………………………………………………………

บริเวณวิกฤต

………………………………………………………………………………………………………………………

สรุปผลการทดสอบ

………………………………………………………………………………………………………………………

การทดสอบสมมติฐานโดยใช้โปรแกรม SPSS for Windows

การทดสอบสมมติฐานสามารถวิเคราะห์ โดยใช้โปรแกรม SPSS for Windows มีวิธีการ ดังนี้

1. การทดสอบความแตกต่างระหว่างกลุ่ม

1) ประชากรกลุ่มเดียว ( ใช้สถิติ one sample t - test )

1.1 ใช้คำสั่ง

Analyze

Compare Means จะได้หน้าจอดังรูปที่ 1

One - Sample T Test ….

รูปที่ 1 One Sample T Test

เมื่อ click ตามรูปที่ 1 แล้วเลือกตัวแปรที่ต้องการใส่ใน box ของ Test variable ใส่ค่าที่เป็นเกณฑ์ใน box ของ Test value ดังตัวอย่างรูปที่ 2

รูปที่ 2 Test Variables

1.2 เลือก Options จะได้หน้าจอดังรูปที่ 3

รูปที่ 3 One Sample T Test :Option

ใส่ confidence interval แล้วเลือก continue จะกลับไปหน้าจอเดิม รูปที่ 1 แล้วคลิก OK จะได้ผลลัพธ์ในตารางที่ 1

ตารางที่ 1 ผลลัพธ์ของตัวอย่าง

One - Sample Test

	Test Value = 30,000
	t	Df	Sig (2 –tailed )	Mean Difference	95 % Confidence Interval of the Difference
					Lower	Upper
Income of respondent	11.17	1399	.0001	11567.14	9536.69	13597.60

จากตารางที่ 1 ค่า t = 11.17 sig ( 2-tailed ) = .000 แสดงว่ารายได้ของผู้รับผิดชอบครอบครัวเฉลี่ยแตกต่างจาก 30,000 ( เป็นการทดสอบ 2 ทาง ) ถ้าทดสอบทางเดียวนำค่า Sig หาร 2 จะได้ Sig = .0001 / 2 = .00005 แสดงว่า รายได้ของผู้รับผิดชอบครอบครัวเฉลี่ยสูงกว่า 30,000 บาทที่ระดับนัยสำคัญ .05

2) ประชาการสองกลุ่มที่เป็นอิสระกัน ( ใช้สถิติ Independent t –t est )

2.1 ใช้คำสั่ง

Analyze

Compare Means จะได้หน้าจอดังรูปที่ 4

Independent –Sample T Test…..

รูปที่ 4 Independent –Sample T Test

จากรูปที่ 4 เลือกตัวแปรที่ต้องการทดสอบใส่ในbox ของTest variable (s) เลือกตัวแปรต้นที่ใช้แบ่งตัวแปรตามเป็น2 กลุ่มใส่ใน box ของ Grouping variable ดังตัวอย่างในรูปที่ 5

รูปที่ 5 Test variables

2.2 เลือก Define Group จะได้หน้าจอดังรูปที่ 6

รูปที่ 6 Define Group

ใส่ค่าของกลุ่มใน Group 1 และ Group 2 แล้วเลือก continue จะกลับมาที่หน้าจอเดิมรูป 5

2.3 เลือก option จะได้หน้าจอ ดังรูปที่ 7

รูปที่ 7 Option

เลือก confidence Interval และ Missing values แล้วเลือก continue เพื่อกลับไปหน้าจอเดิม แล้วเลือก OK จะได้ผลลัพธ์ ในตารางที่ 2 และ 3

ตารางที่ 2 Group Statistics

จำนวนผู้หาเลี้ยงครอบครัว

Mean

Std.

Deviation

Std.Error

Mean

1 คน

2 คน

513

887

30753.28

47821.39

35063.40

39383.34

1548.09

1322.36

ตารางที่ 3 Independent Sample Test

	Levene’s Test for quality of Variances		t –test for Equality of Means
								95% Confidence Interval of the Mean
	F	Sig.	T	Df	Sig (2-tailed)	Mean Difference	Sts.Error Difference	Lower	Upper
Income Equal variances assumed Equal variances not assumed	11.773	.001	-8.128 -8.383	1398 1171.3	.000 .000	-17068.11 -17068.11	2099.94 2035.98	-21187.48 -21062.68	-12948.74 -13073.53

ความหมายของผลลัพธ์ในตารางที่ 3

Levene’s Test for Equality of Variance เป็นการทดสอบที่ใช้ในการทดสอบว่าค่าแปรปรวนประชากรจากแต่ละกลุ่มเท่ากันหรือไม่ เนื่องจากการศึกษานี้เป็นการสุ่มตัวอย่างผู้หาเลี้ยงครอบครัวจำนวน 1 คน มี 513 คนและผู้หาเลี้ยงครอบครัว จำนวน 2 คน มี 887 คน อย่างเป็นอิสระกัน (ขนาดตัวอย่างจากแต่ละกลุ่มไม่จำเป็นต้องเท่ากัน ) และไม่ทราบค่าแปรปรวนประชากรของรายได้ของแต่ละกลุ่ม จึงต้องตรวจสอบว่า ค่าแปรปรวนประชากรของรายได้ของอย่างผู้หาเลี้ยงครอบครัวจำนวน 1 คน เท่ากับของผู้หาเลี้ยงครอบครัวจำนวน 2 คน หรือไม่

H₀ : s ²₁ = s ²₂

H₁ : s ²₁ ¹ s ²₂

สถิติทดสอบ F = 11.775

เขตปฏิเสธ จะปฏิเสธสมมติฐาน H₀ ถ้า

1. F > F_{.975 : 1 ,
89} ซึ่งค่า F_{.975 :
1 , 89} จะเปิดได้จากตารางการแจกแจงแบบ F หรือ

2. ค่า Significance < a

โดยที่ Significance = P (F > F ที่คำนวณได้ )

ในที่นี้ P (F > 11.775 ) = Sig = .001 ซึ่งน้อยกว่าค่า a (.05) จึงปฏิเสธสมมติฐาน H₀ นั่นคือ ค่าแปรปรวนของรายได้ของผู้หาเลี้ยงครอบครัวจำนวน 1 คน ไม่เท่ากับของผู้หาเลี้ยงครอบครัวจำนวน 2 คน s ²₁ ¹ s ²₂

วัตถุประสงค์ของการทดสอบ t – test ต้องการทราบว่ารายได้เฉลี่ยของครอบครัวจากผู้หาเลี้ยงครอบครัวจำนวน 1 คนมากกว่าของผู้หาเลี้ยงครอบครัวจำนวน 2 คนหรือไม่ โดยใช้ a = .05 สมมติฐานเพื่อการทดสอบคือ

H₀: รายได้เฉลี่ยของครอบครัวจากผู้หาเลี้ยงครอบครัวจำนวน 1 คนเท่ากับรายได้เฉลี่ยของครอบครัวจากผู้หาเลี้ยงครอบครัวจำนวน 2 คน

H₁ : รายได้เฉลี่ยของครอบครัวจากผู้หาเลี้ยงครอบครัวจำนวน 2 คนมากกว่ารายได้เฉลี่ยของครอบครัวจากผู้หาเลี้ยงครอบครัวจำนวน 1 คน

จากตารางที่ 3 ผลลัพธ์ของ t –test จะใช้ส่วนของ Equal variance not assumed เนื่องจาก Levene’ s Test สรุปได้ว่า s ²₁ ¹ s ²₂

t ในที่นี้ = -8.383 sig (2-tailed ) = .000 แต่เนื่องจากสมมติฐานเลือก เป็น 1-tailed ดังนั้น sig (1-tailed ) = .000 / 2 = .000 แสดงว่า ปฏิเสธ H₀ นั่นคือ: รายได้เฉลี่ยของครอบครัวจากผู้หาเลี้ยงครอบครัวจำนวน 2 คนมากกว่ารายได้เฉลี่ยของครอบครัวจากผู้หาเลี้ยงครอบครัวจำนวน 1 คนอย่างมีนัยสำคัญที่ระดับ 0.05

การนำเสนอผลการวิจัย ควรสร้างตารางนำเสนอใหม่ ซึ่งสามารถนำเสนอผลการวิเคราะห์ได้ในตารางต่อไปนี้

กลุ่ม

เงินเดือน

t – test

p –value

ค่าเฉลี่ย

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ผู้หาเลี้ยงครอบครัวจำนวน 1 คน

ผู้หาเลี้ยงครอบครัวจำนวน 2 คน

30753.28

47821.39

35063.40

39383.34

-8.383

.000

3) ประชากรสองกลุ่มไม่เป็นอิสระกัน ( ใช้สถิติ dependent t-test )

3.1ใช้คำสั่ง

Analyze

Compare Means จะได้หน้าจอรูปดังรูปที่ 8 Paired - Samples T Test….

รูปที่ 8 Paired – SamplesT-Test

จากรูปที่ 8 เลือกตัวแปรที่จะทดสอบ โดยเลือกครั้งละ 1 ตัว โดยตัวแปรแรกจะเข้าไปอยู่ variable 1 ตัวแปรตัวที่ 2 จะเข้าไปอยู่ variable 2 คลิกเลือกเครื่องหมาย 4 จะปรากฏตัวแปรทั้ง 2 ใน box ของ Paired variables ดังรูปที่ 9

รูปที่ 9 Paired – variables

3.2 เลือก options………. ใส่ confidence interval

เลือก Exclude analysis by analysis เลือก continue และเลือก OK จะได้ผลลัพธ์ในตารางที่ 4-6

ตารางที่ 4 Paired Samples Statistics

Mean

Std. Deviation

Std.Error Mean

Pair 1 EDUFA

EDUMA

12.05

10.91

1406

4.81

5.17

.13

.14

จากตารางที่ 4 หมายความว่า จำนวนปีของการศึกษาเฉลี่ยของบิดา ( mean ของ EDUFA ) = 12.05 ส่วนเบี่ยงมาตรฐานเท่ากับ 4.81 ส่วนจำนวนปีของการศึกษาเฉลี่ยของมารดา(mean ของ EDUMA) =10.91 ส่วนเบี่ยงมาตรฐานเท่ากับ (SD) = 5.17

ตารางที่ 5 Paired Sample correlation

	N	Correlation	Sig.
Pair 1 EDUFA & EDUMA	1406	.716	.000

จากตารางที่ 5 หมายความว่า จำนวนปีของการศึกษาเฉลี่ยของบิดา และมารดามีความสัมพันธ์กันในทิศทางบวก = 0.716 อย่างมีนัยสำคัญทางสถิติที่ระดับ 0.05

ตารางที่ 6 Paired Samples Test

Paired Differences

Sig.

(2-tailed)

Mean

Std.

Deviation

Std.Error

Mean

95% Confidence

Interval of the Difference

Lower

Upper

Pair 1 EDUFA -

EDUMA

1.14

3.78

.10

.94

1.33

11.29

1405

.000

จากตารางที่ 6 หมายความว่า จำนวนปีของการศึกษาเฉลี่ยของบิดา และมารดาแตกต่างกันอย่างมีนัยสำคัญที่ระดับ 0.05 ( t = 11.29 , sig = .000 )

การนำเสนอผลในการวิจัย ไม่จำเป็นต้องนำตารางจากการวิเคราะห์ด้วย SPSS for Windows ทุกตารางไปใส่ ควรสร้างตารางใหม่และนำค่าที่สำคัญไปนำเสนอ เช่น การนำเสนอผลการวิเคราะห์ในเรื่องนี้ สามารถเสนอได้ ดังนี้

จำนวนปีของการศึกษา

กลุ่ม

ค่าเฉลี่ย

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

t - test

p -value

บิดา

มารดา

12.05

10.91

4.81

5.17

11.291

.000

การวิเคราะห์ความแปรปรวน ( Analysis of Variance )

หลักการของการวิเคราะห์ความแปรปรวน

การวิเคราะห์ความแปรปรวน ใช้อักษรย่อที่เรารู้จักกันคือ ANOVA ซึ่งเป็นระเบียบวิธี(ไม่ใช่สถิติทดสอบ) ที่สามารถนำมาวิเคราะห์โดยมีหลักเกณฑ์ที่ใช้ในการทดสอบสมมติฐาน คือ การแยกความแปรปรวนทั้งหมดของข้อมูลออกตามสาเหตุที่ทำให้ข้อมูลแตกต่างกัน นั่นคือแยกความแปรปรวน/ ความผันแปรทั้งหมดของข้อมูลออกเป็น

1. ความผันแปรระหว่างประชากร ( Sum of Square Between Groups ( SS_B ) )

2. ความผันแปรภายในประชากรเดียวกัน ( Sum of Square Within Groups ( SS_W ) )

ความผันแปรทั้งหมด = ความผันแปรระหว่างประชากร + ความผันแปรภายในประชากรเดียวกัน

Sum of Square Total (SS_T) = Sum of Square Between Groups+ Sum of Square Within Groups

Mean Squares Between Groups ( MS_B ) = SS_B = SS_B

df_BK- 1 Mean Squares Within Groups ( MS_W) = SS_W= SS_W

df_wn - K

สถิติทดสอบ F = MS_Bซึ่งมีการแจกแจงแบบ F ด้วยองศาอิสระ K – 1, n - K

MS_W

ซึ่งเป็นอัตราส่วนระหว่างค่าผันแปรระหว่างประชากรกับค่าผันแปรภายในประชากร

โดยที่ K คือ จำนวนกลุ่มประชากร

n คือ จำนวนหน่วยตัวอย่าง

ถ้าความผันแปรระหว่างประชากรมีค่ามากเมื่อเทียบกับความผันแปรภายในประชากรเดียวกัน แสดงว่าความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยประชากรมากกว่าความแตกต่างภายในประชากรเดียวกัน ในกรณีนี้จะปฏิเสธสมมติฐาน H_o ที่ค่าเฉลี่ยของประชากรเท่ากัน นั่นคือจะสรุปได้ว่ามีค่าเฉลี่ยประชากรอย่างน้อย 1 ประชากรที่แตกต่างจากประชากรอื่นๆ ความผันแปรภายในประชากรเดียวกันมีค่ามากกว่าความผันแปรระหว่างประชากร จะทำให้สรุปได้ว่าค่าเฉลี่ยประชากรที่ต้องการทดสอบนั้นไม่แตกต่างกัน

ข้อตกลงเบื้องต้นของ การวิเคราะห์ความแปรปรวน

1. Independent : การสุ่มตัวอย่างแต่ละหน่วยจากแต่ละประชากรจะต้องเป็นอิสระจากกัน

2. Normality : ประชากรทั้ง Kกลุ่มมีการแจกแจงแบบโค้งปกติ

3. Homogeneity of variances : ค่าความแปรปรวนของแต่ละประชากรมีค่าเท่ากัน

การวิเคราะห์ความแปรปรวน

ในที่นี้จะขอกล่าวถึง ONE way ANOVA ( ตัวแปรอิสระ 1 ตัว )และ N - way ANOVA

( ตัวแปรอิสระ 2 ตัว ขึ้นไป )

ONE way ANOVA เป็นการวิเคราะห์ความแปรปรวนที่มีตัวแปรอิสระ 1 ตัว ที่มีมาตรการวัดแบบนามบัญญัติหรืออันดับ โดยแบ่งกลุ่มมากกว่า 2 กลุ่มตัวอย่าง ส่วนตัวแปรตามมี 1 ตัวโดยมีมาตรการวัดแบบอันตรภาคหรืออัตราส่วน

N - way ANOVA เป็นการวิเคราะห์ความแปรปรวนที่มีตัวแปรอิสระ มากกว่า1 ตัว ที่มีมาตรการวัดแบบนามบัญญัติหรืออันดับ ส่วนตัวแปรตามมี 1 ตัวโดยมีมาตรการวัดแบบอันตรภาคหรืออัตราส่วน

การวิเคราะห์ความแปรปรวน แบบ ONE way ANOVA

สรุปการวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบมีปัจจัยเดียว เพื่อทดสอบความแตกต่างระหว่าง ค่าเฉลี่ย k ประชากร

สมมติฐาน H₀: m₁ = m₂= m₃=… = m_k

H₁: มี m_i ¹ m_j อย่างน้อย 1 คู่ ; i ¹ j

สถิติทดสอบ F = MSTrt

MSE

เขตปฏิเสธ จะปฏิเสธ H₀ถ้า F > F _1-_a_;k-1,n-k

ตารางการคำนวณของ ANOVA

แหล่งแปรปรวน

องศาอิสระ

ผลบวกกำลัง

สอง SS

ค่าเฉลี่ยกำลังสอง

MS = SS/DF

ระหว่างทรีทเม้นต์

( Treatment )

ภายในทรีทเม้นต์

(ความคลาดเคลื่อน )

k-1

n-k

SSTrt

SSE

MSTrt

MSE

MSTrt

MSE

ผลรวม ( Total )

n-1

SST

ตัวอย่าง เปรียบเทียบผลการประเมินการปฏิบัติของส่วนงาน 3 แห่ง

ตัวแปรอิสระ (X) : ส่วนงาน 3 แห่ง

ตัวแปรตาม (Y) : คะแนนประเมินผล

ส่วนงาน ก. ส่วนงาน ข. ส่วนงาน ค. 10 6 5

9 4 6

10 7 5

8 3 2

8 5 2

รวม 45 25 20

H_o: m ₁ = m ₂ = m₃

H₁: m _i ¹ m _j อย่างน้อย 1 คู่

ค่าสถิติที่ต้องหา

1 ) ค่าความแตกต่างทั้งหมด ( The total variation ) คำนวณได้จากการเปรียบเทียบค่าจริงกับค่าเฉลี่ยทั้งหมด ( Grand mean ) Y

สูตร Sum of Square Total ( SS_T )

SS_T = å ( Y_i- Y ) ²

i=1 2 ) ค่าความแตกต่างระหว่างกลุ่ม ( The between group variation ) คำนวณได้จากการเปรียบเทียบค่าเฉลี่ยของแต่ละกลุ่ม(Y_j) กับค่าเฉลี่ยทั้งหมด (Y)

สูตร Sum of Square Between Groups ( SS_B )

SS_B = å n ( Y_j-Y ) ²

j = 1

3 ) ค่าความแตกต่างภายในกลุ่ม ( The within group variation ) คำนวณได้โดยการเปรียบเทียบค่าจริงของหน่วยตัวอย่างที่เกิดขึ้นของแต่ละกลุ่ม( Y_{i j})กับค่าเฉลี่ยของกลุ่มนั้น(Y_j)

สูตร Sum of Square Within Groups ( SS_W )

K n

SS_W = å å ( Y_{i j}- Y_j ) ²

j = 1 i=1

SS_T= SS_B+ SS_W

MS_T= SS_T= SS_T

df_Tn - 1

MS_B= SS_B= SS_B

df_BK - 1

MS_W= SS_W= SS_W

df_wn – K

F = MS_B

MS_W

h²= SS_B

SS_T

แทนค่าจากตัวอย่าง

ค่าเฉลี่ยของแต่ละกลุ่ม

y₁= 45 = 9

y₂= 25 = 5

y₃ = 20 = 4

ค่าเฉลี่ยทั้งหมด ( Grand mean )

y = 45+25+20 = 6

ค่า Sum of Square ทั้ง 3 สามารถคำนวณได้ ดังนี้

SS_T= ( 10 - 6 )²+ ( 9 - 6 )²+ ( 10 - 6 )²+ ( 8 - 6 )²+( 8 - 6 )²+( 6 - 6 )²+( 4 - 6 )²+ ( 7 - 6 )²+ ( 3 - 6 )²+ ( 5 - 6 )²+ ( 5 - 6 )²+ ( 6 - 6 )²+ ( 5 - 6 )²+ ( 2 - 6 )²+ ( 2 - 6 ) ²

= 98

SS_B= 5 ( 9 - 6 ) ² + 5 ( 5 - 6 ) ² + 5 ( 4 - 6 ) ²

= 70

SS_W= ( 10 - 9 )² + ( 9 - 9 )²+ ( 10 - 9 )² + ( 8 - 9 )² + ( 8 - 9 )²+ ( 6 - 5 )² + ( 4 - 5)² +

(7 - 5 )²+ ( 3 - 5 )²+ ( 5 - 5 )²+ ( 5 - 4 )²+ ( 6 - 4 )²+ ( 5 - 4 )²+ ( 2 - 4 )²+ (2 -4 )²

= 28

F = MS_B

MS_W

= SS_B/ ( K - 1 )

SS_W/ ( n - K )

= 70 / ( 3 - 1 )

28 / ( 15 - 3 )

= 70 x 12 = 15.02

2 28

ผลการวิเคราะห์ความแปรปรวนทางเดียว

แหล่งความแปรปรวน

ระหว่างกลุ่ม

ภายในกลุ่ม

รวม

2.33

15.02

เปิดตาราง Critical value ของ F จากตาราง µ = 0.01 และ องศาอิสระของ F คือ 2 และ 12 คือ 6.93

F คำนวณ > F เปิดตาราง ปฏิเสธ H_oสรุปได้ว่าคะแนนประเมินผลเฉลี่ยของ ส่วนงานมีความแตกต่างกันอย่างน้อย 1 คู่ อย่างมีนัยสำคัญทางสถิติที่ระดับ 0.01

การที่จะทราบว่ากลุ่มใดบ้างที่แตกต่างกัน ต้องทำการทดสอบต่อไป เรียกว่า Post hoc analysis โดยใช้วิธีการวิเคราะห์ที่เรียกว่าวิธีเปรียบเทียบพหุ (Multiple comparison procedure) ซึ่งมีหลายวิธี ดังต่อไปนี้

วิธีการเปรียบเทียบซึ่งโปรแกรม SPSS แบ่งออกเป็น 2 กลุ่มคือ

1. วิธีการเปรียบเทียบเชิงซ้อนที่มีเงื่อนไขว่า ค่าแปรปรวนของข้อมูลทุกชุดต้องเท่ากัน ประกอบด้วย

1.Least-Significant Different(LSD) 2.Bonferroni

3.Sidak 4.Scheffe

5.RE-G-WF 6.R-E-G-WQ

7.S-N-K(Student-Newman-Keuls) 8.Tukey

9.Tukey’s – b 10.Duncan

11.Hochberg’s GT2 12.Gabriel

13.Waller – Duncan 14.Dunnett’s C

2. วิธีการเปรียบเทียบเชิงซ้อนที่ไม่มีเงื่อนไขเกี่ยวกับการเท่ากันของค่าแปรปรวน

1.Tamhane’s T2

2.Dunnett’s T3

3.Games-Howell

4.Dunnett’s C

ในที่นี้จะอธิบายวิธีการเปรียบเทียบเชิงซ้อนบางวิธีดังนี้

1. Least-Significant Different(LSD)

LSD หรือ Fisher’s Least-Significant Difference เป็นเทคนิคที่ R.A. Fisher ได้

พัฒนาขึ้นเพื่อเปรียบเทียบค่าเฉลี่ยประชากรได้ครั้งละหลายคู่ โดยมีขั้นตอนดังนี้

1. คำนวณค่า LSD โดยที่

ถ้า n_i = n_j จะทำให้

คำนวณความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ย

2. นำ เปรียบเทียบกับค่า LSD

3.1 ถ้า > LSD แสดงว่า

3.2 ถ้า £ LSD แสดงว่า ไม่แตกต่างจาก

หมายเหตุ ส่วนใหญ่ผู้วิเคราะห์มักจะคำนวณหา แล้วนำมาเปรียบเทียบกับค่า LSD

2. Student-Newman-Keuls (SNK) Multiple Range Test

เป็นวิธีการเปรียบเทียบค่าเฉลี่ยประชากรโดยใช้ค่าเฉลี่ยตัวอย่างมีค่ามากที่สุดและน้อย

ที่สุดกับค่า Studentized range statistic

เงื่อนไข วิธีนี้จะใช้ได้เมื่อขนาดตัวอย่างแต่ละชุดเท่ากัน คือ

โดยที่ค่า q เปิดได้จากตาราง และ v = จำนวนค่าเฉลี่ยที่อยู่ในช่วงที่เปรียบเทียบ โดยพิจารณาจากค่าเฉลี่ยตัวอย่างแต่ละชุดที่เรียงลำดับจากน้อยไปมาก จำนวน t ค่าดังนี้

ขั้นตอนในการใช้ SNK ในการเปรียบเทียบค่าเฉลี่ย 2 ประชากรหลาย ๆ คู่พร้อมกัน มีดังนี้

1. คำนวณค่า SNK

2. คำนวณค่าเฉลี่ยตัวอย่าง แล้วนำมาเรียงลำดับจากน้อยไปหามาก

3. คำนวณค่า

4. นำค่า เปรียบเทียบกับ SNK(v,a)

4.1 ถ้า > SNK(v,a) จะปฏิเสธ H₀ นั่นคือ โดยที่ และ ห่างกัน v อันดับ

4.2 ถ้า £ SNK(v,a) จะสรุปว่า ไม่แตกต่างจาก

3.Tukey’s Honesty Significant Difference (HSD)

เป็นวิธีการเปรียบเทียบค่าเฉลี่ยประชากร ที่มีเงื่อนไขเหมือนวิธี SNK คือ ตัวอย่างแต่ละชุดมีขนาดเท่ากัน = r

โดยที่ v = จำนวนกลุ่ม/ประชากรที่ต้องการเปรียบเทียบ ค่า q เปิดได้จากตาราง ขั้นตอนมีดังนี้

1. คำนวณ HSD

2. คำนวณค่า

3. เปรียบเทียบค่า กับ HSD

3.1 ถ้า > HSD แสดงว่า

3.2 ถ้า £ HSD จะสรุปว่า ไม่แตกต่างจาก

หมายเหตุ สำหรับวิธีอื่น ๆ คือ Duncan , Tukey’s และ Scheffe มีหลักเกณฑ์คล้าย ๆ กัน โดยที่ Scheffe จะใช้สถิติ F

การวิเคราะห์ความแปรปรวน แบบ N- way ANOVA

ในที่นี้จะขอยกตัวอย่าง Two- way ANOVA

ตัวอย่างเช่น ผลการเรียนซึ่งขึ้นอยู่กับปัจจัย 2 ปัจจัยคือ

ปัจจัยที่ 1 : ครูผู้สอนซึ่งมี 3 คน ( a = 3 )

ปัจจัยที่ 2 : วิธีการสอนซึ่งมี 4 วิธี ( b = 4 )

ซึ่งทำให้มีจำนวนทรีทเม้นต์ = ab 3(4) = 12 ทรีทเม้นต์ โดยที่ทรีทเม้นต์ที่ 1 คือ ครูผู้สอนคนที่ 1 ใช้วิธีการสอนแบบที่ 1 ,….., และทรีทเม้นต์ที่ 12 คือ ครูผู้สอนคนที่ 3 ใช้วิธีการสอนแบบที่ 4

และ m คือจำนวนข้อมูลในแต่ละทรีทเม้นต์

สำหรับเงื่อนไขของการวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบมี 2 ปัจจัย มีดังนี้

1. แต่ละประชากรมีการแจกแจงแบบปกติ

2. แต่ละประชากรมีค่าแปรปรวนเท่ากัน

SST = SSA + SSB + SSAB + SSE

SST = ผลบวกของความผันแปรทั้งหมดที่มีองศาอิสระ abm – 1

= n-1

SSA = ผลบวกของความผันแปรที่เกิดจากปัจจัย A ที่มีองศาอิสระ ( a-1 )

SSB = ผลบวกของความผันแปรที่เกิดจากปัจจัย B ที่มีองศาอิสระ ( b-1 )

SSAB = ผลบวกของความผันแปรที่เกิดจากอิทธิพลร่วมของปัจจัย A และ B ที่มีองศา

อิสระ( a-1 ) ( b-1 )

SSE = ผลบวกของความคลาดเคลื่อนยกกำลังสอง ที่มีองศาอิสระ ab(m-1)

SST = SSS( C_{i j k} - X ) ²

SSA = S bm ( A_i - X ) ²

ⁱ⁼¹

SSB = S bm ( B_j - X ) ²

^j=1

SSE = SSS( C_{i j k} - ( AB )_{i j} ) ²

และ SSAB = SST – SSA – SSB – SSE

ตารางการวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบมี 2 ปัจจัย

องศาอิสระ

MS = SS/df

ปัจจัย A

ปัจจัย B

ความคลาดเคลื่อน

a-1

b-1

(a-1)(b-1)

ab(m-1)

SSA

SSB

SSAB

SSE

MSA

MSB

MSAB

MSE

MSA/ MSE

MSB/ MSE

MSAB/ MSE

ผลรวม

abm-1

SST

สมมติฐานของการทดสอบเมื่อมีปัจจัย 2 ปัจจัย มีดังนี้

1. การทดสอบอิทธิพลของระดับต่าง ๆ ของปัจจัยที่ 1 ( ปัจจัย A )

H₀ : ไม่มีความแตกต่างระหว่างระดับต่าง ๆ ของปัจจัย A ( ปัจจัยที่ 1 )

H₁ : มีอย่างน้อย 1 ระดับที่แตกต่างจากระดับอื่น ๆ ของปัจจัย A

สถิติทดสอบ F = MSA

MSE

เขตปฏิเสธ จะปฏิเสธ H₀ ถ้า F > F_1-_a ; ที่องศาอิสระ ( a-1) และ ab(m-1)

2. การทดสอบอิทธิพลของระดับต่าง ๆ ของปัจจัยที่ 2 ( ปัจจัย B )

H₀ : ไม่มีความแตกต่างระหว่างระดับต่าง ๆ ของปัจจัย B ( ปัจจัยที่ 2 )

H₁ : มีอย่างน้อย 1 ระดับที่แตกต่างจากระดับอื่น ๆ ของปัจจัย B

สถิติทดสอบ F = MSB

MSE

เขตปฏิเสธ จะปฏิเสธ H₀ ถ้า F > F_1-_a ; ที่องศาอิสระ ( b-1) และ ab(m-1)

3. การทดสอบอิทธิพลของระดับต่าง ๆ ของปัจจัยที่ 1 และ ปัจจัยที่ 2

H₀ : ไม่มีความแตกต่างระหว่างระดับต่าง ๆ ของปัจจัย A และ B

H₁ : มีอย่างน้อย 1 ระดับที่แตกต่างจากระดับอื่น ๆ ของปัจจัย A และB ที่ต่างจากทรีทเม้นต์อื่นๆ

สถิติทดสอบ F = MSAB

MSE

เขตปฏิเสธ จะปฏิเสธ H₀ ถ้า F > F_1-_a ; ที่องศาอิสระ ( a-1)(b-1) และ ab(m-1)

ตัวอย่าง ระดับค่านิยมเกี่ยวกับการประหยัดของประชาชนจำแนกตามการศึกษาและอาชีพ

ตัวแปรอิสระ (X₁) : อาชีพ 3 อย่าง

(X₂) : การศึกษา 4 ระดับ

ตัวแปรตาม (Y) : ระดับค่านิยมเกี่ยวกับการประหยัดของประชาชน

ข้าราชการ ค้าขาย เกษตรกร รวม

X₁ X²₁ X₁ X²₁X₁ X²₁

2 4 3 9 4 16

3 9 4 16 3 9

ป 4 1 1 2 4 4 16

4 16 3 9 2 4

รวม 10 30 12 38 13 45 35

5 25 4 16 5 25

4 16 3 9 2 4

จบมัธยมตอนต้น 3 9 2 4 3 9

2 4 1 1 3 9

รวม 14 54 10 30 13 47 37 3 9 3 9 4 16

2 4 4 16 3 9

จบมัธยมตอนปลาย 3 9 4 16 5 25

1 1 3 9 3 9

รวม 9 23 14 50 15 59 38

3 9 4 16 5 25

2 4 4 16 3 9

จบอุดมศึกษา 4 16 1 1 3 9

1 1 4 16 4 16

รวม 10 30 12 42 14 54 36 รวมทั้งหมด 43 137 48 160 55 205 146

การคำนวณ ANOVA สองทางก็คล้ายกับทางเดียว

SS_T= SSx₁+ SS x₂ + SSx₁ x₂ + SS error

h²= SSx₁+ SS x₂ + SSx₁ x₂

จากตัวอย่าง จะต้องหาค่า å X_t , å X²_t และ n_t ดังนี้

å X_t= 43 + 48 + 55 = 146

å X²_t = 137 + 160 + 206 = 502

n_t= 16 + 16 + 16 = 48

จากนั้นหาผลรวมความเบี่ยงเบนกำลังสอง ซึ่งการวิเคราะห์แบบสองทางจะต้องหาร SS รวม ( SS_t ) ตามแนวตั้ง ( SS_c) ตามแนวนอน ( SS_r ) ระหว่างกลุ่ม ( SS_b ) ปฏิสัมพันธ์ร่วม ( SS_i )และความคลาดเคลื่อน ( SS_e )

SS_t= å X²_t- ( å X_t ) ²

n_t

= 502 - ( 146 ) ² = 57.92

SS_c= ( å X_{c 1} ) ²+ ( å X_{c 2}) ²+ ( å X_{c 3} ) ² - ( å X_t ) ²

n_c1n_c2n_c3n_ct

= ( 43 )² + ( 48 ) ² + ( 55 ) ² - ( 146 ) ²

16 16 16 48

= 4.54

SS_r= ( å X_{r 1} ) ²+ ( å X_{r 2}) ²+ ( å X_{r 3} ) ² + ( å X_r4- (å X_t ) ²

n_r1n_r2n_r3n_r4n_t

= ( 35 )² + ( 37 ) ² + ( 38 ) ² + ( 36 )² - ( 146 ) ²

12 12 12 12 48

= 0.42

SS_b= ( å X_{c 1r1} ) ²+ ( å X_{c 2r2} ) ²++ ......... - ( å X_t ) ²

n_c1r1n_c2r2n_t

= ( 10 )² + ( 12 ) ² + ( 13 ) ² ++...+ ( 14 )² - ( 146 ) ²

4 4 4 4 48

= 10.92

SS_i = SS_b- SS_c- SS_r

= 10.92 - 4.54 - 0.42 = 5.96

SS_e= SS_t- SS_b

= 57.92 - 10.92 = 47.00

จากนั้นทำตารางวิเคราะห์ความแปรปรวน ดังนี้

ผลการวิเคราะห์ความแปรปรวนสองทาง

แหล่งความแปรปรวน df SS MS F P

ตามแนวตั้ง ( c ) 2 4.54 2.27 1.75 > .05

ตามแนวนอน ( r ) 3 0.42 0.14 0.11 > .05

ปฏิสัมพันธ์ร่วม ( i ) 6 5.96 0.99 0.76 > .05

ความคลาดเคลื่อน ( e ) 36 47.00 1.30 -

รวม 47 57.92 - -

ค่า df ของ SS_e= c - 1 ของ SS_r= r - 1 ของ SS_i= ( c - 1 ) ( r - 1 ) และ SS_e= n_t- cr ของ SS_t= n_t- 1 ส่วน MS หาได้ด้วยการเอา df หาร SS ของแต่ละแหล่ง F นั้น จะมีค่า 3 ค่าด้วยการเอา MS_e หาร MS_c , Ms_rและ MS_i

การแปลผลจะต้องดูค่า F ของปฏิสัมพันธ์ร่วมก่อน โดยนำไปเทียบกับ F ในตารางที่ df = 6,36 และ a = 0.05 มีค่า 2.42 แสดงว่าน้อยกว่าค่าในตาราง แปลว่า อิทธิพลจากปฎิสัมพันธ์ระหว่างการศึกษากับอาชีพไม่มีผลต่อค่านิยมเกี่ยวกับการประหยัด จากนั้นจึงแปลผลตามแนวตั้งและแนวนอนต่อไป เช่นเดียวกันคือ พบว่าน้อยกว่าค่า F ในตาราง แสดงว่าทั้งการศึกษาและอาชีพไม่มีผลที่จะทำให้ค่านิยมเรื่องนี้ต่างกัน ถ้าต่างกันจะต้องวิเคราะห์รายคู่ต่อไปเช่นเดียวกับการวิเคราะห์ทางเดียว ส่วนถ้าพบว่าปฏิสัมพันธ์ร่วมมีนัยสำคัญ ( Significance ) จะแปลผลตามแนวตั้งและแนวนอนต่อไปไม่ได้ เพราะจะทำให้เข้าใจผิดได้ ดังนั้นจึงต้องควบคุมตัวแปรตามแนวนอนและแนวตั้งทีละตัวและวิเคราะห์ต่อไป

การวิเคราะห์ ANOVA โดยใช้โปรแกรม SPSS for Windows

มีวิธีการ ดังนี้

1. การทดสอบความแตกต่างระหว่างกลุ่มที่มีประชากรมากกว่าสองกลุ่ม ตัวแปรอิสระ 1 ตัว ( ใช้สถิติ one way ANOVA)

1.1 ใช้คำสั่ง

Analyze

Compare Means

One-Way Anova จะได้หน้าจอดังรูปที่ 1

รูปที่ 1 One way ANOVA

จากรูป 1 - เลือกตัวแปรตามที่มีระดับการวัด interval ขึ้นไป ใส่ใน Dependent List เช่น รายได้ของครอบครัว(income)

- เลือกตัวแปรต้นที่มีระดับการวัดเป็น Nominal หรือ Ordinal ที่มีการแบ่งกลุ่มเพื่อเปรียบเทียบค่าเฉลี่ยระหว่างกลุ่ม เช่น ชื่อโรงเรียน ทั้งนี้เพื่อคำนวณรายได้เฉลี่ยจำแนกตามโรงเรียน ใส่ใน Factor

1.2 เลือก Post Hoc… จะได้หน้าจอดังรูปที่ 2

รูปที่ 2 Post Hoc Multiple Comparisons

จากรูปที่ 2 จะแสดงถึงวิธีการเปรียบเทียบเชิงซ้อน เพื่อต้องการทดสอบว่าค่าเฉลี่ยของกลุ่มใดบ้างที่แตกต่างกัน ซึ่งมี 2 เงื่อนไข คือ

1. Equal Variances Assumed หมายถึง ข้อมูลทุกชุดต้องมีค่าความแปรปรวนเท่ากัน จึงใช้สถิติทดสอบคู่ที่แตกต่างใน BOX แรกรูป 8 ตัวใดตัวหนึ่งหรือหลายตัวก็ได้

2. Equal Variances Not Assumed หมายถึง ข้อมูลทุกชุดไม่มีเงื่อนไขของการเท่ากันเลือกสถิติทดสอบแล้วเลือก continue จะกลับมาที่หน้าจอรูป 1

1.3 เลือก Options… จะได้หน้าจอดังรูป 3

รูปที่ 3 : Options

สามารถเลือก - Descriptive สถิติแบบบรรยาย (X , SD , SE , MAX , MIN ) - Homogeneity of variance จะหาค่าสถิติทดสอบ Levene ของการ ทดสอบความเท่ากันของค่าแปรปรวน แล้วเลือก continue จะกลับมาหน้าจอดังรูปที่ 1

แล้ว เลือก OK จะได้ผลลัพธ์ในตารางที่ 1 - 3

ตารางที่ 1 Test of Homogeneity of Variances

Levene

Statistic

df1

df2

Sig

income

18.942

1396

.000

จากตารางที่ 1 หมายความว่า ความแปรปรวนของรายได้ครอบครัวนักเรียนของแต่ละโรงเรียนไม่เท่ากัน (Sig = .000)

ตารางที่ 2 ANOVA

Sum of

Squares

Mean

Square

Sig.

Income of Between Groups

Within Groups

Total

168497230601.3

1929890669186

2098387899787

1396

1399

56165743533.772

1382443172.769

40.628

.000

จากตารางที่ 2 หมายความว่า รายได้เฉลี่ยมีความแตกต่างกันในแต่ละโรงเรียนอย่างน้อย 1 คู่ อย่างมีนัยสำคัญทางสถิติ จึงต้องทดสอบต่อไปว่าโรงเรียนใดบ้างที่มีรายได้เฉลี่ยต่างกัน โดยใช้วิธี LSD ดังแสดงในผลลัพธ์ ตารางที่ 3

ตารางที่ 3 Multiple Comparisons

Dependent Variable : income of respondent

LSD

(I ) ( J )

School School

Mean

Difference

( I-J )

Std. Error

Sig.

95 % Confidence Interval

Lower Bound

Upper Bound

1 2

24938.28*

23621.64*

5566.56

2674.17

2968.12

3023.31

0.000

0.066

19692.45

17799.18

-364.16

30184.11

29444.10

11497.27

2 1

-24938.28*

-1316.64

-19371.72*

2674.17

2710.65

2770.97

0.000

0.627

0.000

-30184.11

.6634.02

.24807.43

-19692.45

4000.74

-13936.02

3 1

-23621.64*

1316.64

-18055.08

2968.12

2710.65

3055.62

0.000

0.627

0.000

-29444.10

-4000.74

-24049.18

-17799.18

6634.02

-12060.99

4 1

-5566.56

19371.72*

18055.08*

3023.31

2770.97

3055.62

0.066

0.000

-11497.27

13936.02

12060.99

364.16

24807.43

24049.18

· The mean difference is significant at the .05 level.

จากตารางที่ 3 หมายความว่า เมื่อเปรียบเทียบรายได้ของครอบครัวนักเรียนแต่ละโรงเรียน พบว่าคู่ที่มีรายได้ของครอบครัวนักเรียนที่แตกต่างกัน 4 คู่ ได้แก่

1. โรงเรียน 1 และ 2

2. โรงเรียน 1 และ 3

3. โรงเรียน 2 และ 4

4. โรงเรียน 3 และ 4

ซึ่งสามารถนำเสนอผลการวิเคราะห์ในตาราง ดังต่อไปนี้

โรงเรียน

รายได้ของครอบครัวนักเรียน

F -test

P-value

ค่าเฉลี่ย

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

56541.35

31603.07

32919.71

50974.79

48285.67

23386.18

23205.95

51427.68

40.628

0.000

เปรียบเทียบรายคู่

ความแตกต่างของค่าเฉลี่ย

( Mean Difference )

P - value

โรงเรียน 1 2

1 3

1 4

2 3

2 4

3 4

24938.28*

23621.64*

5566.56

-1316.64

-19371.72*

-18055.08*

0.000

0.066

0.627

0.000

2. ประชากรมากกว่าสองกลุ่มที่มีตัวแปรอิสระ 2 ตัวขึ้นไป ( ใช้สถิติ factorial ANOVA )

2.1ใช้คำสั่ง

Analyze

General Linear Model

Univariate… จะได้หน้าจอแสดงดังรูปที่ 4

รูปที่ 4 : Univariate

จากรูปที่ 4 - เลือกตัวแปรตามที่มีระดับการวัด interval ขึ้นไป ใส่ใน dependent เช่น income

-เลือกตัวแปรต้นที่มีระดับการวัดเป็น nominal หรือ ordinal ที่เป็นการจัดประเภทใส่ใน Fixed Factor (s)

2.2 เลือก Models จะได้หน้าจอ ดังรูปที่ 5

รูปที่ 5 : Univariate: Model

จากรูปที่ 5 เลือก Full factorial จะได้อิทธิพลของและปัจจัยและปัจจัยร่วมของปัจจัยต่างๆ แล้วเลือก continue จะกลับมาหน้าจอดังรูปที่ 4

2.3

เลือก Contrasts จะได้หน้าจอ ดังรูปที่ 6

รูปที่ 6 : Univariate: Contrasts

การใช้คำสั่ง Contrast เมื่อต้องการทดสอบความแตกต่างของแต่ละระดับของปัจจัย

สามารถเลือกชนิดของ Contrast ในbox ของContrasts ต่อจากนั้นจึงเลือก continue จะกลับมาหน้าจอดังรูปที่ 4

2.4 เลือก Plots จะได้หน้าจอ ดังรูปที่ 7

รูปที่ 7 Plots

การใช้คำสั่ง Plots จะได้กราฟเส้นตรงที่แต่ละจุดประมาณค่า เฉลี่ยของตัวแปรตามที่แต่ละระดับของปัจจัย เมื่อเลือกแล้ว ตามด้วย continue จะกลับมาหน้าจอดังรูปที่ 4

2.5 เลือก Post Hoc จะได้หน้าจอ ดังรูปที่ 8

รูปที่8 Post Hoc Multiple Comparison

การใช้คำสั่ง Post Hoc เพื่อเปรียบเทียบเชิงซ้อนของค่าเฉลี่ยแต่ละคู่ เมื่อเลือกแล้ว ตามด้วย continue จะกลับมาหน้าจอดังรูปที่ 4

2.6 เลือก Options… จะได้หน้าจอรูปที่ 9

รูปที่ 9 : Options

จากรูปที่ 9 ผู้วิจัยสามารถเลือก Estimated Marginal Means , Display , Significance Level แล้วเลือก continue จะกลับมาที่หน้าจอรูปที่ 4 แล้วเลือก OK จะได้ผลลัพธ์แสดงในรูปตารางที่ 4

ตารางที่ 4 ผลลัพธ์ของตัวอย่าง ANOVA

Sum of

Squares

Mean

Square

Sig.

Income Model

school

status

2 - Way Interactions sschool*status

Eroor

Total

Corrected Total

2.6E+12

1.0E+10

2.8E+10

1.0E+10

1.8E+12

4.5E+12

2.0E+12

1384

1400

1399

1.6E+11

3.4E+09

9.5E+09

1.1E+09

1.3E+09

120.56

2.51

7.00

0.87

.000

0.57

0.00

0.54

R Squared = .582 (Adjusted R Squared = .577)

จากตารางที่ 4 หมายความว่า ตัวแปรต้นหรือ Main Effects มี 2 ตัว ได้แก่ โรงเรียนของนักเรียน( school ) และสถานภาพสมรสของผู้รับผิดชอบครอบครัว ( status ) ตัวแปรตามได้แก่ รายได้ของผู้รับผิดชอบครอบครัว ( income of respondent ) ก่อนอื่นต้องดูผลของปฏิสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรต้น ( 2- way interactions ) ถ้า interaction มีผลต่อรายได้ของผู้รับผิดชอบครอบครัวไม่จำเป็นต้องอ่านผลต่อ แต่ถ้า interaction ไม่มีผลต่อรายได้ ฯ( sig > 0.05) จึงกลับไปดู Main Effects แต่ละตัว ว่ามีผลต่อรายได้ หรือไม่ ซึ่งจากตารางพบว่าโรงเรียน ไม่มีผลต่อรายได้ของครอบครัว แต่สถานภาพสมรสมีผลต่อรายได้ของครอบครัว ( sig <0.05 ) ซึ่งสามารถนำเสนอผลการวิเคราะห์ได้ดังนี้

ปัจจัยที่มีผลต่อรายได้

ของผู้รับผิดชอบครอบครัว

P-value

- โรงเรียน

- สถานภาพสมรส

- ปฏิสัมพันธ์ระหว่าง

โรงเรียนและสถานภาพสมรส

2.51

7.00

0.87

0.57

.000

0.54

แบบฝึกหัด

(ใช้โปรแกรมสำเร็จรูป)

1. อธิการบดีของสถานบันการศึกษาแห่งหนึ่งเชื่อว่ามีนิสิตที่พ้นสภาพการเป็นนักศึกษาโดยเฉลี่ย ไม่เกิน 13% ของนักศึกษาทั้งหมด จึงสุ่มตัวอย่าง จากคณะ ก. เพียงคณะเดียว แล้วเก็บข้อมูลร้อยละของนักศึกษาที่พ้นสภาพในปีที่ผ่านมา ย้อนหลัง 12 ปี ได้ข้อมูลดังนี้

13.4 13.3 14.5 11.7 14.0 12.0 15.4 12.3 12.9 12.6 14.9 13.1

จงทดสอบความเชื่อของอธิการบดีของสถานบันการศึกษาแห่งนี้ที่ระดับนัยสำคัญ .05

2. โรงงานแห่งหนึ่งมีคนงาน 2 ชุด ( 2 กะ ) ทางโรงงานเชื่อว่าคนงานกะกลางวันผลิตสินค้าเฉลี่ยต่อวัน ได้มากกว่าคนงานกะกลางคืน จึงเลือกตัวอย่างคนงานกะกลางวันมา 6 คน กะกลางคืน 9 คน และตรวจสอบจำนวนชิ้นที่ผลิตได้ต่อวันได้ข้อมูลดังนี้

กลางวัน	41	20	19	36	38	26
กลางคืน	9	26	16	10	31	28	35	15	10

กำหนด a = .01 และถ้าทราบว่าความสามารถในการทำงานของคนงานทั้ง 2 กะมีความแปรปรวนไม่แตกต่างกัน

3. ในการวัดประสิทธิภาพการสอนวิชาสถิติการศึกษา จึงสุ่มนิสิตมา 10 คน ก่อนที่นิสิตจะได้เรียนวิชานี้ แล้วให้ทดสอบความรู้ทางสถิติ แล้วจึงให้เข้าเรียนวิชาสถิติการศึกษา เป็นเวลา 4 เดือน หลังจากเรียนจบแล้วจึงให้สอบใหม่แล้วตรวจสอบคะแนนของนิสิตทั้ง 10 คนข้างต้น ได้ดังนี้

นิสิต	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ก่อนเรียน	50	62	51	41	63	56	49	67	42	57
หลังเรียน	65	68	52	43	60	70	48	69	53	61

อยากทราบว่า การสอนวิชาสถิติการศึกษา มีประสิทธิภาพหรือไม่ a = .025

4. โรงเรียนแห่งหนึ่งต้องการทดสอบว่าการเข้าโครงการฝึกปฏิบัติธรรมจะช่วยให้นักเรียนมีผลสัมฤทธิ์ในการทำงานกลุ่มสูงขึ้นหรือไม่ จึงทำการทดสอบกับนักเรียน 10 คน เก็บคะแนนการทำงานกลุ่มของทุกคน แล้วจึงจัดให้เข้าโครงการฝึกปฏิบัติธรรมนาน 1 เดือน เมื่อสิ้นสุดโครงการแล้ววัดการทำงานกลุ่มของนักเรียนอีกครั้ง ปรากฏว่าได้คะแนน ดังนี้

คะแนนการทำงานกลุ่ม

นักเรียน	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ก่อนเข้าโครงการ	63	93	84	72	65	72	91	84	71	80
หลังเข้าโครงการ	78	92	91	80	69	85	99	82	81	87

อยากทราบว่าโครงการฝึกปฏิบัติธรรมทำให้คะแนนการทำงานกลุ่มสูงขึ้นหรือไม่ กำหนดให้ a = .01

5. บริษัทซึ่งผลิตสบู่ออกจำหน่ายต้องการทดสอบตลาดของสบู่ชนิดใหม่ 3 ชนิด ( A,B,C ) จึงนำสบู่ออกวางจำหน่ายในปีที่ผ่านมา โดยเก็บยอดขายของสบู่ตามภาคต่าง ๆ ที่วางขายได้ข้อมูลดังนี้

หน่วย : 1000 บาท

ภาค

ชนิดของสบู่

A B C

ภาคกลาง

ภาคเหนือ

ภาคใต้

ภาคอีสาน

47 57 65

63 63 76

79 67 54

52 50 49

อยากทราบว่ายอดขายเฉลี่ยของสบู่ใหม่ทั้ง 3 ชนิดและแต่ละภาคแตกต่างกันหรือไม่ที่ระดับความเชื่อมั่น 95 %

6. ในห้องปฏิบัติการการทอผ้าแห่งหนึ่งต้องการศึกษาผลของสีพิมพ์ผ้า 4 ชนิด ( A,B,C,D ) เพื่อทำให้สีคงทน ไม่ซีดง่าย แต่เนื่องจากอาจารย์ผู้สอนคิดว่าชนิดของผ้าที่มีผลต่อคุณภาพของสีด้วย จึงสุ่มตัวอย่างผ้ามา 3 ชนิด ๆ ละผืน แล้วแบ่งผ้าแต่ละผืนเป็น 4 ส่วน เท่า ๆ กัน กำหนดสีผ้าพิมพ์แต่ละชนิดให้ผ้าแต่ละส่วนอย่างสุ่ม แล้วทำการทดสอบความคงทนของสีได้ดังนี้

ชนิดของผ้า

1 2 3

9.9

13.4

12.7

10.1

12.9

11.4

12.2

11.4

12.1

12.3

11.9

ก. จากข้อมูลสรุปได้หรือไม่ว่าคุณภาพของสีพิมพ์ผ้าทั้ง 4 ชนิด แตกต่างกันที่ระดับนัยสำคัญ .10

ข. อยากทราบว่าชนิดของผ้ามีผลทำให้คุณภาพของสีแตกต่างกันหรือไม่ ที่ระดับนัยสำคัญ .05

7. ถ้าต้องการเปรียบเทียบประสิทธิภาพของปุ๋ย 3 ชนิด ( ก , ข , ค ) จึงทดลองโดยการสุ่มพื้นที่มา 4 แห่ง แล้วแบ่งพื้นที่แต่ละแห่งเป็น 3 ส่วน ในแต่ละพื้นที่จะกำหนดชนิดของปุ๋ยแต่ละชนิดให้แต่ละส่วนอย่างสุ่ม ได้ข้อมูลผลผลิต ดังนี้

พื้นที่

ชนิดของปุ๋ย

ก ข ค

11 15 10

13 17 15

16 20 13

10 12 10

จากข้อมูลข้างต้นสรุปได้หรือไม่ว่าปุ๋ยทั้ง 3 ชนิดมีประสิทธิภาพไม่แตกต่างกันที่ระดับนัยสำคัญ 0.05

8. ถ้าต้องการศึกษาความแตกต่างของวัตถุดิบที่ใช้ทำยางรถยนต์ 3 ชนิด ขนาดของยางรถยนต์ 3 ขนาด ว่ามีอิทธิพลต่ออายุการใช้งานของยางรถยนต์หรือไม่ จึงสุ่มรถยนต์มา 36 คัน แล้วสุ่มให้ใช้ยางรถยนต์และขนาดของยางรถยนต์กลุ่มละ 4 คัน ได้ข้อมูล ดังนี้

ชนิดของวัตถุดิบ	ขนาดของยางรถยนต์
ชนิดของวัตถุดิบ	เล็ก	กลาง	ใหญ่
1	78,62,72,68	82,78,70,75	92,85,87,90
2	65,70,75,69	72,68,73,76	85,79,84,80
3	81,78,75,85	87,83,82,85	94,90,89,95

ก. อยากทราบว่ามีอิทธิพลร่วมของขนาดของยางรถยนต์ และชนิดของวัตถุดิบที่มีต่อระยะทางที่วิ่งหรือไม่

ข. อยากทราบว่าขนาดของยางรถยนต์ มีอิทธิพลต่อระยะทางที่วิ่งหรือไม่

ค. อยากทราบว่าชนิดของวัตถุดิบมีอิทธิพลต่อระยะทางที่วิ่งหรือไม่

กำหนดระดับนัยสำคัญ = 0.05

หนึ่งเป็นอิสระจากความสำเร็จที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาอื่นๆหรือสถานการณ์อื่นๆ

การแจกแจงแบบเอฟ

รูป 2

รูป 3 โค้งปกติ

รูป 7

T = 10Z+50

จากตัวอย่างที่ 2 ถ้าต้องการหาค่า คะแนน T ของนิสิต ก. ซึ่งได้คะแนน Z =1.73 หาได้ ดังนี้

T = (10 X 1.73)+50

การใช้การแจกแจงปกติมาตรฐานประมาณค่าการแจกแจงแบบทวินาม

2. การแจกแจงแบบ ที (t-Distribution)

ประเภทของการประมาณค่า แบ่งเป็น 2 ประเภท คือ

หนึ่งประชากร

สองประชากร

การประมาณค่าเฉลี่ยของประชากร ( m ) แบบช่วง

สรุปค่าประมาณแบบช่วง

การประมาณค่าเฉลี่ยประชากร m แบบช่วง

การประมาณค่าสัดส่วนประชากร pแบบช่วง

ผลการทดสอบ

ยอมรับ Ho

ปฏิเสธ Ho

สมมติฐานแย้ง

1. H1 : m > m o

สถิติทดสอบ

บริเวณวิกฤต

สรุปผลการทดสอบ

สถิติทดสอบ

บริเวณวิกฤต

สรุปผลการทดสอบ

สถิติทดสอบ

บริเวณวิกฤต

สรุปผลการทดสอบ

สถิติทดสอบ

บริเวณวิกฤต

สรุปผลการทดสอบ

สถิติทดสอบ

บริเวณวิกฤต

สรุปผลการทดสอบ

ค่าเฉลี่ย

ค่าแปรปรวน

m 1

ขนาดตัวอย่าง

ค่าเฉลี่ย

ค่าแปรปรวน

n1

C1

สถิติที่ใช้ทดสอบ

สามารถใช้สถิติ Z – test และ t – test ขึ้นอยู่กับข้อตกลงเบื้องต้นของการใช้สถิติแต่ละตัว

4.1 การทดสอบความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยสองประชากร โดยใช้ Z – test

สถิติทดสอบ Z = (X1-X2)- d0

มี 2 เงื่อนไข คือ ในกรณีที่ s12= s22 กับ ในกรณีที่ s12 ¹ s22

สูตรสถิติทดสอบ ในกรณีที่ s12 = s22

t = (X1 - X2) - d0 ในกรณีที่ s12= s22

สูตรสถิติทดสอบ ในกรณีที่ s12 ¹ s22

t = (X1-X2)- d0 ในกรณีที่ s12 ¹ s22

คะแนนเฉลี่ย

ขนาดตัวอย่าง

80.7

78.9

สถิติที่ใช้

t = (X1 - X2) - d0

สถิติทดสอบ

บริเวณวิกฤต

สรุปผลการทดสอบ

4.3 การทดสอบความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยสองประชากร โดยใช้ Dependent or paired t – test

สถิติทดสอบ

t = d- d0

รถยนต์คันที่

1

สถิติทดสอบ

บริเวณวิกฤต

สรุปผลการทดสอบ

5. การทดสอบความแตกต่างระหว่างสัดส่วนสองประชากร( โดยใช้ Z – test)

สถิติทดสอบ Z = ( p1- p2) - p0

การทดสอบความแตกต่างระหว่างค่าความแปรปรวนสองประชากร

H0 : s12= s22

สถิติทดสอบ F = S12

สถิติทดสอบ

บริเวณวิกฤต

สรุปผลการทดสอบ

วิธีรักษา

ยอมรับ H_o

ปฏิเสธ H_o

1. _H₁: m > m _o

m ₁

n₁

C₁

สถิติทดสอบ Z = (X₁-X₂)- d₀

มี 2 เงื่อนไข คือ ในกรณีที่ s₁²= s₂²กับ ในกรณีที่ s₁²¹ s₂²

สูตรสถิติทดสอบ ในกรณีที่ s₁²= s₂²

t = (X₁- X₂) - d₀ในกรณีที่ s₁²= s₂²

สูตรสถิติทดสอบ ในกรณีที่ s₁²¹ s₂²

t = (X₁-X₂)- d₀ในกรณีที่ s₁²¹ s₂²

t = (X₁- X₂) - d₀

t = d- d₀

สถิติทดสอบ Z = ( p₁- p₂) - p₀

H₀: s₁²= s₂²

สถิติทดสอบ F = S₁²