ทบทวนความรู้พื้นฐานเบื้องต้น

ทบทวนความรู้พื้นฐานเบื้องต้น

ทฤษฎีการคณนา
ทฤษฎีการคณนาคือการศึกษาทฤษฎีที่เกี่ยวกับตัวแบบของการคำนวณของคอมพิวเตอร์ โดยพิจารณาสัญลักษณ์เข้า ฟังก์ชันการเปลี่ยนสถานะและผลลัพธ์ที่ต้องการโดยใช้หลักทางคณิตศาสตร์และขั้นตอนวิธี (Algorithms)
ชื่ออื่นๆ ที่นิยมใช้กันเช่น Automata theory, Formal Language theory, Theory of Computation เป็นต้น
ประวัติ

เริ่มจาก Mathematical Logic (ทฤษฎีคณิตศาสตร์เชิงตรรกะ)
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) เป็นผู้คิดค้นทฤษฎีทางเซต (Set theory) กำหนดขนาดของเซต และพบว่า Infinite set มีหลายขนาด และจะมี Set ซึ่งใหญ่กว่า Universe เซตเสมอ
David Hilbert (1862-1943) เป็นผู้แสดงข้อความทางคณิตศาสตร์ที่พิสูจน์โดยใช้การคณนา
Kurt Gödel (1906-1978) แสดงว่า ไม่มีขั้นตอนวิธีหรือโปรแกรมใด ที่สามารถหาการพิสูจน์ข้อความที่เป็นจริงทั้งหมดในคณิตศาสตร์ได้ Incompleteness Theorem: Not all true statements can be proved.
Alonzo Church (1903-1995) นิยามปัญหาซึ่งไม่มีขั้นตอนวิธีหรือโปรแกรมที่สามารถแสดงว่าปัญหานั้นเป็นจริงหรือเท็จได้
Alan Mathison Turing (1912-1954) นิยาม Universal Turing machine ซึ่งใช้เป็นแนวคิดในการสร้างคอมพิวเตอร์เครื่องแรกของโลก

ประโยชน์

มีความเข้าใจ เรื่องตัวแบบคณนา
สามารถนำตัวแบบคณนามาแก้ปัญหาได้
ใช้อธิบายโครงสร้างของภาษา และนิพจน์ที่ภาษานั้นยอมรับได้
ใช้ในการแก้ปัญหาตรรกะ เช่น ระบบการควบคุมหุ่นยนต์ (Control logic of Robot), ระบบตรรกของวงจร (Logic circuit) เป็นต้น
สามารถ แสดงการพิสูจน์ว่า การทำงานของคอมพิวเตอร์ถูกต้องหรือไม่
บอกระดับความยากของปัญหาที่พบ เช่น ปัญหาที่แก้ได้โดยใช้ออโตมาตาจำกัด (Finite Automata), ปัญหาที่แก้โดยใช้ออโตมาตาแบบกดลง (Push-down automata), ปัญหาที่แก้ได้โดยใช้ เครื่องทัวริง (Turing Machine), ปัญหาที่ตัดสินไม่ได้ เป็นต้น

ทำไมเราควรเรียนวิชานี้

เพื่อให้เข้าใจ หลักการการคำนวณของระบบคอมพิวเตอร์ ในเชิงนามธรรม
เพื่อให้รู้จักภาษาต่าง ๆ ในเชิงทฤษฎีการคณนา เช่น ภาษาปกติ ภาษาไม่พึ่งบริบท เป็นต้น
เพื่อให้เข้าใจหลักการ ตัวแบบคณนาในการแก้ปัญหาที่พบ
เพื่อให้เข้าใจรูปแบบ การเขียนไวยากรณ์ต่างๆ ของภาษาคอมพิวเตอร์
เพื่อให้รู้จักแบบฟอร์มมาตรฐานต่างๆ ของไวยากรณ์ เช่น รูปแบบ CNF, รูปแบบ GNF
เพื่อให้สามารถแสดงความสัมพันธ์ต่างๆ ของตัวแบบคณนาได้
เพื่อให้สามารถแสดงความยากง่ายของปัญหา โดยดูจากความซับซ้อนของการคณนา
สามารถบอกระดับความยากของปัญหาในเชิงขั้นตอนวิธี

เซต
เซตคือกลุ่มของสิ่งต่าง ๆ ที่อยู่รวมกัน มักเขียนแทนด้วยอักษรภาษาอังกฤษตัวใหญ่เช่น A, B, C, D เป็นต้น

สมาชิกของเซต ปกติเขียนแทนด้วยตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวเล็ก เช่น a, b, c, d เป็นต้น ถ้า a เป็นสมาชิกของเซต A เขียนแทนด้วย a A
การอธิบายเซต แบ่งได้เป็น
- การแจงสมาชิก เช่น A = {1, 2, 3, 4, ... }
- การบอกสมบัติของสมาชิกในเซต เช่น A = {x | x เป็นจำนวนเต็มบวก}
ทั้งนี้ เซตหนึ่งเซตอาจมีการบอกลักษณะที่แตกต่างกันได้มากมาย เช่น {1, 2, 3, 4, ... } เป็นเซตเดียวกับ {x | x เป็นจำนวนเต็มบวก} เป็นเซตเดียวกับ {x | x เป็นจำนวนนับ}
สัญลักษณ์ของเซตที่ควรทราบ
1. เซตว่าง คือเซตที่ไม่มีสมาชิก
2. เซตของจำนวนนับ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
3. เซตของจำนวนเต็มบวกที่รวมศูนย์ ₀ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
4. เซตของจำนวนเต็ม = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
5. เซตของจำนวนตรรกยะ = {a/b | a และ b และ b 0 }
6. เซตของจำนวนจริง
ข้อตกลง สำหรับเซต A ใด ๆ
- จำนวนสมาชิกในเซต A เขียนแทนด้วย | A | เช่น | {a, b, c} | = 3, | | = 0
ตัวกระทำการบนเซต เรามักกำหนดเซตของสมาชิกที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ U เรียกว่า Universe เซต เรานิยามตัวกระทำการบนเซตได้ดังนี้
1. ตัวกระทำการเอกภาค (Unary operator) ได้แก่
  - ส่วนเติมเต็มของ A เขียนแทนด้วย A' หรือ A^C หรือ นิยามโดย = {x U | x A } เช่น ถ้า U = แล้ว {1, 2}' = {3, 4, 5, ... }
2. ตัวกระทำการทวิภาค (Binary operator) ได้แก่
  - ยูเนียนของเซต A กับเซต B เขียนแทนด้วย A B นิยามโดย A B = {x | x A หรือ x B } เช่น {1, 3, 5, 7, ... } {2, 4, 6, ... } = {1, 2, 3, 4, 5, ... }
  - อินเตอร์เซกชันของเซต A กับเซต B เขียนแทนด้วย A B นิยามโดย A B = {x | x A และ x B } เช่น {1, 2, 3, 4, 5 } {2, 4, 6, ... } = {2, 4 }
  - ผลต่างของเซต A กับเซต B เขียนแทนด้วย A - B นิยามโดย A - B = {x | x A แต่ x B } เช่น {1, 2, 3, 4, 5 } - {2, 4, 6, ... } = {1, 3, 5 }
  - ผลต่อกันของเซต A กับ B เขียนแทนด้วย AB นิยามโดย AB = {xy | x A และ y B } เช่น {0, 00, 000}{1} = {01, 001, 0001}
  - ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A กับเซต B เขียนแทนด้วย A B นิยามโดย A B = { (x, y) | x A และ y B } เช่น {1, 2, 3} {2, 4} = { (1,2), (1,4), (2, 2), (2, 4), (3, 2), (3, 4) }
3. ตัวกระทำการกับชุดของเซต A₁, ..., A_n
  - A_i คือผลผนวกของชุดของเซต A₁, ..., A_n นิยามโดย A_i = { x | i {1, 2, ..., n}, x A_i } เช่น A_i = { i } จะได้ A_i = {1, 2, 3, ..., n}
  - A_i คือผลเหมือนของชุดของเซต A₁, ..., A_n นิยามโดย A_i = { x | i {1, 2, ..., n}, x A_i } เช่น A_i = {1, 2, ..., i } จะได้ A_i = {1 }
  เราสามารถขยายกรณีที่ n ไม่จำกัดได้ในทำนองเดียวกัน
4. การพิสูจน์เกี่ยวกับเซต เราสามารถแสดงการพิสูจน์เกี่ยวกับเซตได้โดยใช้หลักการสองแบบดังนี้
  1. การแสดงว่า A เป็นสับเซตของ B เขียนแทนด้วย A B ซึ่งแสดงได้โดย
    กำหนดให้ x เป็นสมาชิกใด ๆ ถ้า x A แล้วต้องสรุปให้ได้ว่า x B
    เช่น {1}
  2. การแสดงว่า A เป็นเซตเดียวกับเซต B เขียนแทนด้วย A = B ซึ่งแสดงได้โดย
    การพิสูจน์ว่า A B และ B A
    ตัวอย่างเช่น {2, 4, 6, ... } = {x | x เป็นจำนวนคู่ }= {x | k , x = 2 k }
  จากที่กล่าวมาเราสามารถสรุปความจริงเกี่ยวกับเซต ได้แก่
  - | A B | | A | + | B |
  - The commutative law: A B = B A และ A B = B A
  - The associative laws: A ( B C) = (A B) C
    และ A ( B C) = (A B) C
  - The distributive laws: A ( B C) = (A B) (A C)
    และ A ( B C) = (A B) (A C)
  - The idempotent laws: A A = A และ A A = A
  - The absorptive laws: A ( A B) = A และ A ( A B) = A
  - The De Morgan laws: (A B)' = A' B' และ (A B)' = A' B'
  - กฎที่เกี่ยวกับส่วนเติมเต็ม: ()' = A และ A = Ø และ A = U
  - กฎที่เกี่ยวกับเซตว่าง : A Ø = A และ A Ø = Ø
  - กฎที่เกี่ยวกับเซต Universe: A U = U และ A U = A

การพิสูจน์โดยใช้ตรรกศาสตร์
หลักการให้เหตุผล หรือ กฎการอนุมาน (Rule of inference) มีหลายกฎ แต่กฎที่เราใช้บ่อย ๆ คือ Modus ponens ซึ่งกล่าวว่า ถ้าเรายอมรับข้อความ P

Q ว่าเป็นจริง และพบว่าข้อความ P เป็นจริงแล้ว เราย่อมได้ว่า Q เป็นข้อความที่เป็นจริงด้วย ในที่นี้ P และ Q เรียกว่าประพจน์ทางคณิตศาสตร์ หมายความว่าค่าความจริงของ P และ Q ที่ได้จะเป็นจริงหรือเท็จเท่านั้น

กฎการอนุมาน (Rule of inference)	สัจนิรันดร์ (Tautology)	ชื่อ	ตัวอย่าง
ทราบ p สรุป p q	p (p q)	Addition	x = 0 สรุปได้ว่า x 0
ทราบ p q สรุป p	(p q) p	Simplification	x = 0 และ y > 0 สรุปได้ว่า x = 0
ทราบ p และ ทราบ q สรุป p q	(p) (q) (p q)	Conjunction	x = 0 และ z = 0 สรุปได้ว่า x และ z เท่ากับ 0
ทราบ p และ ทราบ p q สรุป q	(p (p q)) q	Modus ponens	x = 2 และ ถ้า x 0 แล้ว จะมี x^-1 ดังนั้น สรุปได้ว่า 2 ที่ไม่ใช่ 0 จะมี 2^-1 (คือ 1/2)
ทราบ q และ ทราบ p q สรุป p	(q (p q)) p	Modus tollens	ทราบว่า x ที่พบไม่มี x^-1 และ ถ้า x 0 แล้ว จะมี x^-1 เป็นจริง ดังนั้นสรุปได้ว่า x = 0
ทราบ p q และ ทราบ q r สรุป p r	((p q) (q r)) (p r)	Hypothetical syllogism	ทราบว่า ถ้า x = 2 แล้ว y = 4 และถ้า y = 4 แล้ว x + y = 6 จะสรุปได้ว่า ถ้า x = 2 แล้ว x + y = 6
ทราบ p q และ ทราบ p สรุป q	((p q) p) q	Disjunctive syllogism	ทราบว่า x ที่พบ x 0 x > 0 และ x เป็น 2 ซึ่ง x ไม่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 0 แล้วเราสรุปได้ว่า x > 0

ตัวอย่างการพิสูจน์ เช่นเราทราบว่า ถ้าจำนวนที่หารด้วย 9 ลงตัวแล้ว จำนวนนั้นจะหารด้วย 3 ลงตัวด้วย

เราพบว่า 18 หารด้วย 9 ลงตัว จริง จาก Modus ponens เราสรุปได้ว่า 18 หารด้วย 3 ลงตัวด้วย

อย่างไรก็ตามเรามักสนใจ พิสูจน์ประโยคที่มีตัวแปรปรากฎอยู่ ตัวอย่างเช่น เราสนใจว่าข้อความ "ถ้า n หารด้วย 9 ลงตัวแล้ว n จะหารด้วย 3 ลงตัว เป็นจริง สำหรับทุกค่าของ n ที่เป็นจำนวนนับ" ประโยคประเภทนี้ เรียกว่า ประโยคภาคแสดง (Predicate logic) ที่มีตัวขยาย quantifier คือ ทุกค่าของ n

ถ้าเรากำหนดให้ P(n) แทนข้อความ "ถ้า n หารด้วย 9 ลงตัวแล้ว n จะหารด้วย 3 ลงตัว"

แล้ว เราต้องการจะพิสูจน์

n P(n) สำหรับ n ที่เป็นจำนวนนับ

ซึ่งการพิสูจน์ใช้กฎการอนุมานดังนี้

กฎการอนุมาน (Rule of inference)	ชื่อ	ตัวอย่าง
ทราบ x P(x) สรุป P(c) เป็นจริงทุกค่าของ c	Universal instantiation	เราทราบว่า x (x < 0 x 0) ดังนั้น 7 < 0 7 0
ทราบ P(c) เป็นจริงทุกค่าของ c ใน U สรุป x P(x)	Universal generalization	เราสามารถแสดงได้ว่า สำหรับ c ใด ๆ ที่เป็นจำนวนนับ c > 0 เราสามารถสรุปได้ว่า x , x > 0
ทราบ x P(x) สรุป P(c) เป็นจริงสำหรับบางค่าของ c	Existential instantiation	เราทราบว่า x , 2 x = 1 ดังนั้นเราสรุปได้ว่า มีจำนวนตรรกยะ c (c = 1/2) ซึ่ง 2 c = 1
ทราบว่ามี c ซึ่งทำให้ P(c) เป็นจริง สรุปได้ว่า x P(x)	Existential generalization	เรารู้ว่า 0 + y = y สำหรับทุก y ดังนั้นเราสามารถเขียนได้ว่า x y, x + y = y

ความสัมพันธ์
ความสัมพันธ์คือเซตของคู่ลำดับ เราเรียก R เป็นความสัมพันธ์บนเซต A ก็ต่อเมื่อ R A A สมบัติของความสัมพันธ์ที่เราสนใจคือ

R มีสมบัติสะท้อน (reflexive) ก็ต่อเมื่อ x A, (x, x) R หรือเขียนแทนด้วย x R x
R มีสมบัติสมมาตร (symmetric) ก็ต่อเมื่อ x, y A, (x, y) R (y, x) R

R มีสมบัติถ่ายทอด (transitive) ก็ต่อเมื่อ

x, y, z

A, (x, y)

R และ (y, z)

(x, z)

เรากล่าวว่า R เป็นความสัมพันธ์สมมูล (Equivalent relation) ก็ต่อเมื่อ R มีสมบัติทั้งสามแบบคือ สะท้อน สมมาตร และถ่ายทอด
ตัวอย่างของความสัมพันธ์

จงพิจารณาว่าความสัมพันธ์ต่อไปนี้บนเซต A = {a, b} มีสมบัติสะท้อน สมมาตร และถ่ายทอดหรือไม่
1. R₁ = {(a, a)}
2. R₂ = {(a, b), (b, a)}
3. R₃ = {(a, a), (a, b), (b, a)}
4. R₄ = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}
5. R₅ =
6. R₆ = A A
จงพิจารณาว่าความสัมพันธ์ต่อไปนี้บนเซต B = {ก, ข, ค} มีสมบัติสะท้อน สมมาตร และถ่ายทอดหรือไม่
1. S₁ = {(ก, ก), (ข,ข)}
2. S₂ = {(ก, ข), (ก, ก), (ข, ก)}
3. S₃ = {(ก, ข), (ก, ก), (ข, ก), (ข, ข)}
4. S₄ = {ก, ข} {ค}
5. S₅ =
6. S₆ = {ก, ข} {ค}
ความสัมพันธ์ของการลงรอยกันบนเซตของจำนวนเต็ม: กำหนด m เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ
a, b , a ลงรอยกับ b มอดุโล m ก็ต่อเมื่อ m หารผลต่าง b-a ได้ลงตัว
เขียนแทนด้วย a b (mod m) (a congruent to b modulo m) จงพิสูจน์ว่าความสัมพันธ์นี้มี สมบัติสะท้อน สมมาตร และถ่ายทอดหรือไม่
พิจารณาว่าเซตต่อไปนี้มีสมบัติสะท้อน สมมาตร และถ่ายทอด
1. R₂ = {(a, b) | a และ b และ a b (mod 2)}
2. R₄ = {(a, b) | a และ b และ a b (mod 4)}
3. R₈ = {(a, b) | a และ b และ a b (mod 8)}

ความสัมพันธ์โคลเชอร์: ให้ p เป็นสมบัติของความสัมพันธ์, R และ S เป็นความสัมพันธ์บนเซต A เรากล่าวว่า

S เป็นโคลเชอร์ของ R ที่มีสมบัติ p (p-closure of R) ก็ต่อเมื่อ S เป็นความสัมพันธ์บนเซต A ที่เล็กที่สุดที่มีคุณสมบัติ p และ R

เรากำหนดว่า

R⁺ คือโคลเชอร์ของ R ที่มีสมบัติถ่ายทอด

R^* คือโคลเชอร์ของ r ที่มีสมบัติสะท้อน และถ่ายทอด

ตัวอย่างของความสัมพันธ์โคลเชอร์
ให้ A = {1, 2, 3} และ R = {(1, 2), (2, 2), (2, 3)} จงพิจารณาว่าความสัมพันธ์ใดต่อไปนี้ เป็นโคลเชอร์ของ R ที่มีสมบัติสะท้อน สมมาตร และถ่ายทอด

S₁ = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3)}
S₂ = {(1, 2), (2, 2), (2, 3), (1, 3)}
S₃ = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3), (1, 3)}
S₄ =
S₅ = A A

สำหรับความสัมพันธ์ R ใด ๆ บนเซต A, (x, y)

R⁺ ก็ต่อเมื่อ (x, y) ต้องสอดคล้องสมบัติสองข้อต่อไปนี้เท่านั้น

(x, y) R (x, y) R⁺
(x, y) R⁺ และ (y, z) R⁺ (x, z) R⁺

สำหรับความสัมพันธ์ R ใด ๆ บนเซต A, R^* = R⁺

{(a, a) | a

A}
การแบ่งกั้น
ถ้า R เป็นความสัมพันธ์สมมูลบนเซต A แล้ว R แบ่งกั้น (partition) เซต A ออกเป็นเซตต่างสมาชิก (disjoint set) โดยที่แต่ละเซตไม่ใช่เซตว่าง และผลยูเนียน (union) ของเซตเหล่านั้นทั้งหมดเท่ากับเซต A โดยเราจะเรียก เซตเหล่านั้นว่า เซตชั้นสมมูล (Equivalence class)
ตัวอย่าง จงหาเซตของชั้นสมมูลของความสัมพันธ์ต่อไปนี้บนเซต

R₂ = {(a, b) | a และ b และ a b (mod 2)}
R₄ = {(a, b) | a และ b และ a b (mod 4)}
R₈ = {(a, b) | a และ b และ a b (mod 8)}

การพิสูจน์โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction) คือการพิสูจน์สำหรับประโยคที่มีตัวแปรมีค่าเป็นจำนวนนับเท่านั้น โดยการพิสูจน์อาศัยหลักที่ว่า ประโยคเริ่มต้นเป็นจริง (คือ P(1) เป็นจริง) และถ้าเราสามารถแสดงว่า การพิสูจน์ค่าความจริงของประโยค P(n+1) เกิดจากค่าความจริงของประโยค P(n) เราจะได้ว่า P(n) เป็นจริงทุกค่าของ n ที่เป็นจำนวนนับ
พิจารณาปัญหาต่อไปนี้

1. สูตรทั่วไปของการบวกตัวเลขจาก 1 ถึง n มีหรือไม่ ถ้ามีคืออะไร พิสูจน์อย่างไร
2. สูตรทั่วไปของการบวกตัวเลขคี่จาก 1 ถึง n มีหรือไม่ ถ้ามีคืออะไร พิสูจน์อย่างไร
3. สูตรทั่วไปของการบวกตัวเลขคู่จาก 1 ถึง n มีหรือไม่ ถ้ามีคืออะไร พิสูจน์อย่างไร

อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ : ให้ P(n) แทนข้อความสำหรับจำนวนนับ n ใด ๆ
1. แสดงได้ว่า P(1) เป็นจริง
2. สมมติว่า P(k) เป็นจริง แล้วแสดงได้ว่า P(k+1) เป็นจริง
จะได้ว่า P(n) เป็นจริงทุกจำนวนนับ n ที่เป็นไปได้
เราเรียก ประโยคในข้อ 1. ว่า มูลฐานของการอุปนัย (basis of induction) และ ประโยคข้อ 2. ว่า ขั้นอุปนัย (inductive step) และเรียกสมมติฐานในประโยคข้อ 2. ที่ว่า P(k) เป็นจริงว่า สมมติฐานของการอุปนัย (inductive hypothesis)
ตัวอย่างที่ 1 จงพิสูจน์ว่า

1² + 2² + 3² + . . . + n² = n(2n+1)(n+1)/6
1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2 n - 1) = n²
n < 2ⁿ
n³ - n หารด้วย 3 ลงตัว
1 + 2 + 2² + . . . + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ - 1
1 + 2 + 3 + . . . + n = n (n + 1)/2
2ⁿ < n! สำหรับทุก n > 3
8 + 13 + 18 + 23 + ... + (3 + 5n) = 2.5 n² + 5.5 n
1/2 + 1/4 + ... + 1/2ⁿ < 1
xⁿ - yⁿ หารด้วย x - y ลงตัวทุกค่าของจำนวนนับ x, y, n ที่ x ไม่เท่ากับ y
จงหาผลบวกของ 1/2 + 1/4 + ... + 1/2ⁿ แล้วแสดงการพิสูจน์
1² - 2² + 3² - 4² + ... + (-1)^k-1k² = (-1)^k-1k(k+1)/2
จงหาผลบวกของ 1 × 2 + 2 × 3 + ... + n × (n+1) พร้อมแสดงการพิสูจน์
1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n) > 13/24 สำหรับ n > 1
กำหนดให้ 1+x > 0 จงแสดงว่า (1+x)ⁿ 1 + n x
กำหนดตัวเลขที่เขียนแทนด้วยเลขฐานสิบ เช่น 3241 เรียกตัวเลขนี้ว่า x
1. x หาร 9 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ ผลบวกของตัวเลขโดดทุกตัว หาร 9 ลงตัว
2. x หาร 3 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ ผลบวกของตัวเลขโดดทุกตัว หาร 3 ลงตัว
จงพิสูจน์หลักการรังนกพิราบ (pigeonhole principle) ซึ่งกำหนดว่า นกพิราบ n + 1 ตัว เมื่อเข้ารัง n รัง จะได้ว่ามีอย่างน้อยหนึ่งรังที่มีนก มากกว่าหนึ่งตัว

อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์แบบเข้ม
ให้ P(n) แทนข้อความสำหรับจำนวนนับ n
1. แสดงได้ว่า P(1) เป็นจริง
2. สำหรับจำนวนเต็มบวก k ถ้า P(1), P(2), P(3), ..., P(k) เป็นจริง แล้ว ทำให้พิสูจน์ได้ว่า P(k+1) เป็นจริง
จะได้ว่า P(n) เป็นจริงทุกจำนวนนับ n
ตัวอย่างที่ 2 จงพิสูจน์ว่า

a_n < (7/4)ⁿ เมื่อกำหนดให้ a₁ = 1, a₂ = 3 และ a_n = a_n-1 + a_n-2 สำหรับ n > 2
จงแสดงว่า จำนวนค่าของแสตมป์ที่มากกว่า 12 บาท สามารถใช้แสตมป์ดวงละ 4 บาทและ 5 บาทเท่านั้นในการรวมกัน
จงแสดงว่า สำหรับจำนวนนับ n ใด ๆ จะมีจำนวนเต็ม a และ b ที่ทำให้ n = 2 a + 3 b เสมอ

กราฟ ไดกราฟ กราฟหลายด้าน กราฟเทียมและต้นไม้
จากบันทึกที่ทราบ กราฟถูกใช้ครั้งแรกโดย Leonhard Euler เพื่อใช้ในการแก้ปัญหา Königsberg bridge โดยที่ ชาวเมืองต้องการทราบว่า มีทางเป็นไปได้หรือไม่ที่จะข้ามสะพาน 7 สะพานที่เชื่อมระหว่างเกาะดังรูปเพียงครั้งเดียว โดยที่ไม่มีการข้ามสะพานซ้ำกันเลย

นอกจากนี้เรานำกราฟมาใช้แก้ปัญหา การวางแผงวงจรบน planar circuit board, การแยกความแตกต่างของโมเลกุลสองชนิดที่มี โครงสร้างต่างกัน แต่มีอนุภาคเท่ากัน, การตรวจสอบว่าคอมพิวเตอร์สองเครื่องเชื่อมต่อกันบนเครือข่ายโดยใช้ตัวแบบกราฟของระบบเครือข่าย, การหาระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างเมืองสองเมือง เป็นต้น
กราฟ คือคู่ลำดับของเซตสองเซต G = (V, E) โดยที่ V แทนเซตจำกัดของจุดยอด (vertex) และ E แทนเซตจำกัดของด้าน (edge) เราแบ่งกราฟได้เป็นหลายประเภทดังนี้

กราฟอย่างง่าย (simple graph) คือกราฟที่มีด้านเชื่อมระหว่างจุดยอดสองจุด ที่ไม่มีทิศทาง กำหนดโดย G = (V, E) และ E = { {u, v} | u V และ v V และ u v} ตัวอย่างเช่น
กราฟหลายด้าน (multigraph) คือกราฟที่มีด้านเชื่อมระหว่างจุดยอดสองจุดใด ๆ มีได้มากกว่าหนึ่งด้าน กำหนดโดย G = (V, E) และ E = {e₁, e₂, ..., e_m} และมีฟังก์ชัน f ซึ่ง f : E { {u, v} | u V และ v V โดยที่ u v } กล่าวคือ ค่าของ f จะบอกว่า ด้าน e_i เชื่อมระหว่างจุดยอดสองจุดใด ตัวอย่างเช่น
กราฟเทียม (pseudograph) คือกราฟที่มีด้านเชื่อมระหว่างจุดยอดใด ๆ โดยอนุญาติให้ด้านสามารถเชื่อมต่อระหว่างจุดยอดเดียวกันได้ อาจมีทิศทางหรือไม่มีทิศทางก็ได้ กำหนดโดย G = (V, E) และ E = {e₁, e₂, ..., e_m} และมีฟังก์ชัน f ซึ่ง f : E { {u, v} | u V และ v V } ตัวอย่างเช่น
ไดกราฟ (digraph หรือ directed graph) คือกราฟที่มีด้านเชื่อมระหว่างจุดยอดใด ๆ แบบมีทิศทาง กำหนดโดย G = (V, E) และ E = { (u, v) | u V และ v V โดยที่ u v} ตัวอย่างเช่น
ไดกราฟหลายด้าน (directed multigraph) คือกราฟที่มีด้านเชื่อมระหว่างจุดยอดใด ๆ ได้มากกว่าหนึ่งแบบมีทิศทาง โดย G = (V, E) และ E = {e₁, e₂, ..., e_m} และมีฟังก์ชัน f ซึ่ง
f : E { (u, v) | u V และ v V โดยที่ u v } กล่าวคือ f บอกว่า ด้าน e_i เชื่อมจากจุดยอดใด ไปจุดยอดใด แบบมีทิศทาง ตัวอย่างเช่น

สำหรับ f(e) = (v, w) เราเรียก v ว่าจุดยอดนำหน้า (predecessor) ของ w และ w ว่าจุดยอดตามหลัง (successor) ของ v

ตัวอย่างที่ 3

กำหนดให้ G = (V, E) โดยที่ V = {1, 2, 3}, E = {e₁, e₂, e₃, e₄} มีฟังก์ชัน f ดังนี้ f(e₁) = (1,3), f(e₂) = (3,1), f(e₃) = (3,2), f(e₄) = (3,3) เราเขียนกราฟเทียมแบบมีทิศทางได้ดังนี้
จงวาดกราฟเทียมแบบมีทิศทางของ G = (V, E) โดยที่ V = {a, b, c, d}, E = {e₁, e₂, e₃, e₄, e₅} มีฟังก์ชัน f ดังนี้ f(e₁) = (a,b), f(e₂) = (b,c), f(e₃) = (c,a), f(e₄) = (c,d), f(e₅) = (d,d)

นิยามของกราฟที่ควรทราบ
กำหนดให้ G = (V, E) เป็นกราฟเทียมแบบมีทิศทาง

ทางเดิน (walk) จากจุดยอด v₁ ไป v_n คือลำดับของจุดยอด v₁ , v₂, ..., v_n ใน V ซึ่ง (v₁, v₂), ..., (v_n-1, v_n) เป็นด้าน ด้านหนึ่งใน E เขียนแทนด้วย v₁ v₂ ... v_n
วิถี (path) คือทางเดินที่ทุกด้านต่างกันทั้งหมด
วัฎจักร (cycle) คือทางเดินจากจุดยอดจุดหนึ่งกลับมาจุดยอดเดิม โดยไม่มีด้านซ้ำ

ต้นไม้ (tree) เป็นสับเซตของไดกราฟ ซึ่ง
1. มีจุดยอดพิเศษอยู่หนึ่งจุดเรียกว่าราก (root) ที่ไม่มีจุดยอดนำหน้าและมีวิถี (path) จากจุดยอดนี้ไปยังทุกจุดของกราฟ
2. ไม่มีวัฎจักรในกราฟ
เราเรียกจุดยอดทุกจุดที่ไม่มีด้าน ออกจากจุดยอดนั้นว่าใบไม้ (leaf)
ตัวอย่างที่ 4

กำหนดให้ G = (V, E) โดยที่ V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} , E = {(1,2), (1,3), (3,4), (3,5), (3,6), (6,7)}
กำหนดให้ G = (V, E) โดยที่ V = {a, b, c} , E = {(a,b), (c,a), (c,b)} จงตรวจสอบว่า G เป็นต้นไม้หรือไม่

โดยปกติ เราไม่นิยมเขียนลูกศรแสดงทิศทางใน กราฟต้นไม้ เนื่องจากเราทราบทิศทางที่แน่นอนอยู่แล้ว

ชุดตัวอักขระและภาษา
ชุดตัวอักขระ (alphabet) คือ เซตจำกัดของสัญลักษณ์ที่ไม่ใช่เซตว่าง เขียนแทนด้วย เช่น = {0, 1}
เรานิยาม การกระทำที่เกี่ยวกับ ตัวอักขระได้ดังนี้

สายอักขระ (string) จาก คือลำดับจำกัดของสัญลักษณ์จาก ซึ่งเขียนติดกัน เช่น ccddd เป็นต้น นิยมใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษเขียนแทนเช่น u, v, w, x, y, z
ความยาว (length) ของสายอักขระ w เขียนแทนด้วย |w| คือจำนวนตัวอักขระที่ปรากฎทั้งหมดใน w เช่น |ccddd| = 5 หรือ w = ccdd แล้ว |w| = 4
สายอักขระผันกลับ (reverse) ของ w เขียนแทนด้วย w^R คือ สายอักขระที่เกิดจาก w โดยผันกลับจากขวาสุดมาซ้ายสุด เช่น w = ccdd แล้ว w^R = ddcc
สายอักขระว่าง (empty string) เขียนแทนด้วย หรือ คือสายอักขระที่ไม่มีสัญลักษณ์ปรากฎอยู่เลย เราได้ว่า || = 0
การต่อกันของ wx คือการนำสายอักขระ w มาเขียนต่อกัน (concatenate) กับ x
เรียก w ว่าสายอักขระเติมหน้า (prefix) ของ x และ x เรียกสายอักขระต่อท้าย (suffix) ของ w
wⁿ = w w . . . w เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 และนิยาม w⁰ = และ w¹ = w
v เป็นสายอักขระย่อย (substring) ของ w เมื่อมีสายอักขระ u และ z ที่ w = u v z
^* คือเซตของสายอักขระทั้งหมดจาก รวม
⁺ = ^* - {}
L เป็นภาษา (language) จาก ก็ต่อเมื่อ L ^*
เช่น , {c, d}, {, cd} ต่างก็เป็นภาษาจาก
สมาชิกทุกตัวในภาษา L เรียกว่าคำ (word) หรือประโยค (sentence) ใน L

ข้อสังเกต ภาษาก็คือเซต
คอมพลีเมนต์ (Complement)
กำหนดให้

เป็นชุดตัวอักษร และ L, L" เป็นภาษาจาก

คอมพลีเมนต์ (complement) ของ L เทียบกับ ^* เขียนด้วย คือ = ^* - L = {w ^* | w L }
ภาษาผันกลับ (reverse) ของ L เขียนแทนด้วย L^R คือ
L^R = {w^R | w L}
การต่อกัน (concatenation) ของ L และ L" เขียนแทนด้วย LL" คือ
LL" = { x y | x L และ y L" }

ดังนั้น Lⁿ = L L L . . . L เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 2 ขึ้นไป และในกรณี n = 0 และ n = 1 เรานิยาม L⁰ = {

}และ L¹ = L
L^* = L⁰

L¹

L²

. . . =

Lⁿ และ
L⁺ = L¹

L²

L³

. . . =

Lⁿ
ตัวอย่างที่ 5

กำหนดให้ = {a, b} และ L₁ = {a, aa, ab} จงหา L₁^R, ₁, L₁², L₁³, L₁^*, L₁⁺
กำหนดให้ = {0, 1} และ L₂ = {0ⁿ | n เป็นจำนวนคี่บวก} = {0, 000, 00000, ...} จงหา L₂^R, ₂, L₂², L₂³, L₂^*, L₂⁺
กำหนดให้ = {0, 1} และ L₃ = {x ^* | x มีจำนวนศูนย์เท่ากับจำนวนหนึ่ง} จงหา L₃^R, ₃, L₃², L₃³, L₃^*, L₃⁺
กำหนดให้ = {0, 1} และ L₄ = {x ^* | x แทนด้วยเลขฐานสองที่หารด้วย 3 ลงตัว} จงหา L₄^R, ₄, L₄², L₄³, L₄^*, L₄⁺
กำหนดให้ = {0, 1} และ L₅ = {0ⁿ1ⁿ | n ₀} จงหา L₅^R, ₅, L₅², L₅³, L₅^*, L₅⁺
กำหนดให้ = {0, 1} และ L₆ = {xx^R | x ^*} จงหา L₆^R, ₆, L₆², L₆³, L₆^*, L₆⁺
กำหนดให้ = {0, 1} และ L₇ = {x ^* | x = x^R} จงหา L₇^R, ₇, L₇², L₇³, L₇^*, L₇⁺
กำหนดให้ = {0, 1} และ L₈ = {0ⁿ1^m | n > m 0} จงหา L₈^R, ₈, L₈², L₈³, L₈^*, L₈⁺
กำหนดให้ = {0, 1} และ L₉ = {0ⁿ1^m | n = 2 m, n ₀} จงหา L₉^R, ₉, L₉², L₉³, L₉^*, L₉⁺
กำหนดให้ = {0, 1} และ L₁₀ = {0ⁿ1ⁿ0ⁿ | n ₀} จงหา L₁₀^R, ₁₀, L₁₀², L₁₀³, L₁₀^*, L₁₀⁺
กำหนดให้ = {0, 1} และ L₁₁ = {ww | w ^*} จงหา L₁₁^R, ₁₁, L₁₁², L₁₁³, L₁₁^*, L₁₁⁺
กำหนดให้ = {0, 1} และ L₁₂ = { 0ⁿ | n เป็นจำนวนเฉพาะ} จงหา L₁₂^R, ₁₂, L₁₂², L₁₂³, L₁₂^*, L₁₂⁺

Home | Previous | Next