ปัญหาที่ตัดสินได้และปัญหาที่ตัดสินไม่ได้ ทฤษฎีบทของไรซ์และปัญหาคู่กรณีของพีซีพี

ปัญหาที่ตัดสินได้และตัดสินไม่ได้ (Decidable and undecidable problems) จากการสร้างเครื่องออโตมาตาและเครื่องทัวริงที่ผ่านมา เราพบว่าเครื่องทัวริงมีความสามารถในการจดจำเซต รูปแบบ คำนวณค่าฟังก์ชัน และจำลองการทำงานหรือขั้นตอนวิธีของการคำนวณต่าง ๆ ได้ เราจึงเลือกสถาปัตยกรรมเครื่องทัวริงในการใช้ในการตอบคำถามที่ว่า "มีขั้นตอนวิธีที่จะตรวจสอบข้อความที่กำหนดให้หรือไม่" ตัวอย่างของคำถามเช่น "มีขั้นตอนวิธีที่ใช้ตรวจสอบว่าโปรแกรมใด ๆ หยุดการทำงานเสมอสำหรับทุกสายอักขระ หรือไม่" "มีขั้นตอนวิธีที่ใช้ตรวจสอบว่ากราฟที่มีทิศทางใด ๆ มีวงแฮมิลตัน หรือไม่" "มีขั้นตอนวิธีที่ใช้ตรวจสอบว่าภาษาที่ได้จากโปรแกรมที่พิจารณา เป็นภาษาซึ่งไม่มีสมาชิกอยู่เลย หรือไม่" บทนิยาม : ปัญหาที่อยู่ในรูปแบบคำถามว่า "มีหรือไม่มี ขั้นตอนวิธีที่จะใช้ตรวจสอบข้อความที่กำหนดให้" เป็น ปัญหาที่ตัดสินได้ (decidable problem) ก็ต่อเมื่อ ภาษาที่มีความหมายตรงกับข้อความในปัญหานั้นเป็นเซตรีเคอร์ซีฟ และเรากล่าวว่า ปัญหานั้นเป็น ปัญหาที่ตัดสินไม่ได้ (undecidable problem) ก็ต่อเมื่อ ภาษาที่มีความหมายตรงกับข้อความในปัญหานั้น ไม่เป็นเซตรีเคอร์ซีฟ ตัวอย่างที่ 1: ปัญหาที่ถามว่า "มีหรือไม่มีขั้นตอนวิธีที่ใช้ตรวจสอบว่า สำหรับเครื่องทัวริง M ใด ๆ และสายอักขระ w, M ยอมรับ w หรือไม่" เป็นปัญหาที่ตัดสินไม่ได้ เพราะภาษาที่ได้มีความหมายเดียวกับ Lu ซึ่งไม่เป็นเซตรีเคอร์ซีฟ ตัวอย่างที่ 2: ปัญหาที่ถามว่า "มีหรือไม่มีขั้นตอนวิธีที่ใช้ตรวจสอบว่า สำหรับไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท G ใด ๆ L(G) = Ø หรือไม่" เป็นปัญหาที่ตัดสินได้ เพราะเราสามารถเขียนขั้นตอนวิธีในการตรวจสอบว่า ไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทผลิตสายอักขระใด ๆ หรือไม่ การพิสูจน์ว่าปัญหาที่ตัดสินได้สามารถทำได้โดยอธิบายการสร้างเครื่องทัวริงก็เพียงพอ แต่สำหรับการแสดงว่า ปัญหาที่พิจารณาเป็นปัญหาที่ตัดสินไม่ได้จะมีความยุ่งยากกว่า เราจึงเสนอวิธีการที่ง่ายขึ้นโดยใช้ทฤษฎีบทของไรซ์ ทฤษฎีบทของไรซ์ : (Rice's Theorem) ให้ {L | L เป็นเซตอาร์อี} จะได้ว่า {<M> | M เป็นเครื่องทัวริง และ L(M) } เป็นเซตรีเคอร์ซีฟ ก็ต่อเมื่อ = Ø หรือ = {L | L เป็นเซตอาร์อี} สังเกตว่า เป็นเซตซึ่งประกอบด้วยภาษา ดังนั้นการใช้ทฤษฎีบทของไรซ์ เราเริ่มจากการนิยาม ที่เป็นเซตของภาษา ถ้าเราต้องการแสดงว่า {<M> | M เป็นเครื่องทัวริง และ L(M) } ไม่เป็นเซตรีเคอร์ซีฟ เราเพียงหา L1 และ L1 {L | L เป็นเซตอาร์อี} C ตัวอย่างที่ 3: ปัญหาที่ถามว่า "มีหรือไม่มีขั้นตอนวิธีที่ใช้ตรวจสอบว่า สำหรับเครื่องทัวริง M ใด ๆ M หยุดการทำงานเสมอ เมื่ออ่านสายอักขระรับเข้าใด ๆ หรือไม่" เป็นปัญหาที่ตัดสินได้หรือไม่ได้ ตัวอย่างที่ 4: ปัญหาที่ถามว่า "มีหรือไม่มีขั้นตอนวิธีที่ใช้ตรวจสอบว่า สำหรับเครื่องทัวริง M ใด ๆ L(M) = Ø หรือไม่" เป็นปัญหาที่ตัดสินได้หรือไม่ได้ ตัวอย่างที่ 5: ปัญหาที่ถามว่า "มีหรือไม่มีขั้นตอนวิธีที่ใช้ตรวจสอบว่า สำหรับเครื่องทัวริง M ใด ๆ L(M) เป็นเซตจำกัด หรือไม่" เป็นปัญหาที่ตัดสินได้หรือไม่ได้ ตัวอย่างที่ 6: ปัญหาที่ถามว่า "มีหรือไม่มีขั้นตอนวิธีที่ใช้ตรวจสอบว่า สำหรับเครื่องทัวริง M ใด ๆ L(M) เป็นเซตรีเคอร์ซีฟ หรือไม่" เป็นปัญหาที่ตัดสินได้หรือไม่ได้ ตัวอย่างที่ 7: ปัญหาที่ถามว่า "มีหรือไม่มีขั้นตอนวิธีที่ใช้ตรวจสอบว่า สำหรับเครื่องทัวริง M ใด ๆ M หยุดการทำงานเสมอ เมื่ออ่านสายอักขระรับเข้าใด ๆ หรือไม่" เป็นปัญหาที่ตัดสินได้หรือไม่ได้ จากปัญหาที่กล่าวข้างต้น เราสนใจเฉพาะปัญหาที่เกี่ยวข้องกับเครื่องทัวริงทั้งสิ้น แต่ปัญหาที่ตัดสินไม่ได้บางปัญหาอาจไม่เกี่ยวข้องกับ การสร้างเครื่องทัวริงเลยก็ได้ เช่น ปัญหาการสมนัยของโพสต์ (Post's correspondence problem) ซึ่งสามารถนำไปใช้พิสูจน์ ว่าปัญหาอื่น ๆ เป็นปัญหาที่ตัดสินไม่ได้ บทนิยาม : ให้ A และ B เป็นรายการ (list) ของสายอักขระใน + ที่มีจำนวนสายอักขระเท่ากัน เราจะนิยาม คู่กรณีของพีซีพี (A, B) ว่าเป็น คู่กรณีของปัญหาการสมนัยของโพสต์ (instance of Post's correspondence problem) ดังนี้ สมมติว่า (A, B) เป็นคู่กรณีของพีซีพี โดยที่ A เป็นรายการของสายอักขระ w1, w2, ..., wk B เป็นรายการของสายอักขระ x1, x2, ..., xk เรากล่าวว่าคู่กรณีของพีซีพี (A, B) มีผลเฉลย (solution) ก็ต่อเมื่อ เราสามารถหาลำดับของจำนวนเต็ม i1, i2, ..., im ได้ โดยที่ wi1wi2...wim = xi1xi2...xim เราเรียก i1, i2, ..., im ว่าเป็นผลเฉลยของคู่กรณีของพีซีพี (A, B) และเรากล่าวว่า wi1wi2...wim = xi1xi2...xim เป็น รูปแบบที่เข้าชุดกัน (match) ของคู่กรณีของพีซีพี (A, B) บทนิยาม : ปัญหาการสมนัยของโพสต์ (Post's correspondence problem) เขียนสั้น ๆ ว่า พีซีพี (PCP) คือปัญหาที่ถามว่า "มีหรือไม่มีขั้นตอนวิธีที่ใช้ตรวจสอบว่า คู่กรณีของพีซีพี (A, B) คู่ใด ๆ มีผลเฉลยหรือไม่" ตัวอย่างที่ 8: ให้ = {0, 1} และ A, B เป็นรายการของสายอักขระ w1, w2, w3 และ x1, x2, x3 ตามลำดับ โดยที่ w1 = 1, w2 = 10111, w3 = 10 และ x1 = 111, x2 = 10, x3 = 0 จงหาผลเฉลยของ (A, B) ถ้ามี ตัวอย่างที่ 9: ให้ = {0, 1} และ A, B เป็นรายการของสายอักขระ w1, w2, w3 และ x1, x2, x3 ตามลำดับ โดยที่ w1 = 10, w2 = 011, w3 = 101 และ x1 = 101, x2 = 11, x3 = 011 จงหาผลเฉลยของ (A, B) ถ้ามี บทนิยาม : ปัญหาการสมนัยของโพสต์ปรับปรุง (Modified Post's correspondence problem) หรือ เขียนสั้น ๆ ว่า เอ็มพีซีพี (MPCP) คือปัญหาที่ถามว่า "มีหรือไม่มีขั้นตอนวิธีที่จะตรวจสอบว่าคู่กรณีของพีซีพี (A, B) คู่ใด ๆ มีผลเฉลย i1, i2, ..., im หรือไม่ โดยที่ i1 = 1" ทฤษฎีบท : ถ้า พีซีพี เป็นปัญหาที่ตัดสินได้แล้ว เอ็มพีซีพี จะเป็นปัญหาที่ตัดสินได้ด้วย พิสูจน์ สมมติว่า พีซีพี เป็นปัญหาที่ตัดสินได้ ดังนั้นจะมีขั้นตอนวิธีที่จะตรวจสอบว่า คู่กรณีของพีซีพี (A, B) คู่ใด ๆ มีผลเฉลยหรือไม่ เรียกขั้นตอนวิธีดังกล่าวว่า S (เราจะแสดงการสร้างขั้นตอนวิธีสำหรับ เอ็มพีซีพี โดยการเพิ่มสัญลักษณ์ ฿ และ $) ให้ (A, B) เป็นคู่กรณีของเอ็มพีซีพีคู่ใด ๆ A ประกอบด้วย w1, ..., wk และ B ประกอบด้วย x1, ..., xk เราสร้างคู่กรณีของพีซีพี (A', B') จากชุดของ (A, B) ซึ่ง (A, B) มีผลเฉลย i1, i2, ..., im โดยที่ i1 = 1 ก็ต่อเมื่อ (A', B') มีผลเฉลย ดังนี้ ให้ ฿ และ $ เป็นสัญลักษณ์ที่ไม่ปรากฎใน สำหรับแต่ละ i ให้ yi เป็นสายอักขระที่ได้จาก wi โดยการเติม ฿ ต่อท้ายสัญลักษณ์ทุกตัวที่ปรากฎใน wi ให้ zi เป็นสายอักขระที่ได้จาก xi โดยการเติม ฿ นำหน้าสัญลักษณ์ทุกตัวที่ปรากฎใน xi ตัวอย่างเช่น ถ้า w1 = 0111 จะได้ y1 = 0฿1฿1฿1฿ และถ้า x1 = 110 จะได้ z1 = ฿1฿1฿0 และ y0 = ฿y1, z0 = z1, yk+1 = $ และ zk+1 = ฿$ ให้ลำดับของ y0, ..., yk+1 เป็นรายการของสายอักขระใน A' และ ลำดับของ z0, ..., zk+1 เป็นรายการของสายอักขระใน B' ตามลำดับ เราได้ว่า ถ้า i1, i2, ..., im เป็นผลเฉลยของคู่กรณีของเอ็มพีซีพี (A, B) โดยที่ i1 = 1 แล้วจะได้ว่า 0, i2, ..., im, k+1 เป็นผลเฉลยของคู่กรณี พีซีพี (A', B') ทฤษฎีบท : เอ็มพีซีพี เป็นปัญหาที่ตัดสินไม่ได้ พิสูจน์ โดยใช้วิธีขัดแย้ง สมมติว่า เอ็มพีซีพีเป็นปัญหาที่ตัดสินได้ ดังนั้นจะมีขั้นตอนวิธีที่จะตรวจสอบว่า คู่กรณีของพีซีพี คู่ใด ๆ มีผลเฉลย i1, i2, ..., im หรือไม่โดยที่ i1 = 1 เรียกขั้นตอนวิธีนี้ว่า S (เราสามารถแสดงว่า มีขั้นตอนวิธีที่ตรวจสอบว่า สำหรับเครื่องทัวริง M ใด ๆ และสำหรับ w * ใด ๆ M ยอมรับ w หรือไม่) ให้ M เป็นเครื่องทัวริงและ w * เราสร้างคู่กรณีของพีซีพี (A, B) จาก < M, w > โดยมีสมบัติว่า M ยอมรับ w ก็ต่อเมื่อ (A, B) มีผลเฉลย i1, i2, ..., im ที่ i1 = 1 ดังนี้ เราสมมติโดยไม่เสียนัยได้ว่า q1 เป็นสถานะเริ่มต้นของเครื่อง M และหัวอ่านเคลื่อนซ้ายหรือขวาเท่านั้น สมาชิกของรายการ A และรายการ B เขียนแจกแจงเป็นกลุ่ม ๆ ดังนี้ รายการ A รายการ B คู่แรก # #q1Z0w# กลุ่ม I X Y X in {0, 1, , Z0} กลุ่ม II qX Yp ถ้า (q, X) = (p, Y, R) กลุ่ม II ZqX pZY ถ้า (q, X) = (p, Y, L) กลุ่ม II q# Yp# ถ้า (q, ) = (p, Y, R) กลุ่ม II Zq# pZY# ถ้า (q, ) = (p, Y, L) กลุ่ม III XqY q สำหรับ q F กลุ่ม III Xq q สำหรับ q F กลุ่ม III qY q สำหรับ q F กลุ่ม IV q#Z0# # ทุก q F เราสามารถแสดงได้ว่า คู่กรณี (A, B) ที่สร้างขึ้นมาจาก < M, w > มีผลเฉลย i1, i2, ..., im โดยที่ i1 = 1 ก็ต่อเมื่อ M ยอมรับ w ปัญหาที่ถามว่า "มีหรือไม่มี ขั้นตอนวิธีที่จะตรวจสอบว่า สำหรับเครื่องทัวริง M ใด ๆ และสำหรับ w * M ยอมรับ w หรือไม่" สามารถตรวจสอบได้ดังนี้ สร้างคู่กรณี (A, B) ข้างต้น เนื่องจากเอ็มพีซีพี เป็นปัญหาที่ตัดสินได้ โดยมีขั้นตอนวิธี S เราใช้ขั้นตอนวิธี S ในการหาผลเฉลย จากผลเฉลยที่ได้ นำไปตอบปัญหาว่า M ยอมรับ w ได้ สรุปได้ว่า "มีหรือไม่มีขั้นตอนวิธีที่จะตรวจสอบว่า สำหรับเครื่องทัวริง M ใด ๆ และสำหรับ w * M ยอมรับ w หรือไม่" เป็นปัญหาที่ตัดสินได้ ซึ่งขัดแย้ง ดังนั้น เอ็มพีซีพี เป็นปัญหาที่ตัดสินไม่ได้ บทแทรก : พีซีพี เป็นปัญหาที่ตัดสินไม่ได้ ตัวอย่างที่ 10: ให้ M = ({q1, q2, q3, q4}, {0,1}, {0, 1, , Z0}, , q1, Z0, {q2}) เป็นเครื่องทัวริงแถบเดียวปลายเปิดทางเดียวที่มีนิยาม ดังนี้ (q1, Z0) = (q1, Z0, R), (q1, 1) = (q1, 1, R), (q1, 0) = (q3, 0, R), (q1, ) = (q2, , R), (q3, 1) = (q3, 1, R), (q3, 0) = (q4, 0, L), (q4, 1) = (q4, 1, L), (q4, 0) = (q2, 1, R) จงสร้างคู่กรณีของพีซีพี (A, B) จาก <M, 010> ตามขั้นตอนวิธีการพิสูจน์ข้างต้น และหาผลเฉลยของคู่กรณีที่ได้ ถ้ามี ทฤษฎีบท : ปัญหาที่ถามว่า "มีหรือไม่มีขั้นตอนวิธีที่จะตรวจสอบว่า ไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท G กำกวมหรือไม่" เป็นปัญหาที่ตัดสินไม่ได้ พิสูจน์ โดยใช้วิธีขัดแย้ง สมมติว่า ปัญหาที่ถามว่า "มีหรือไม่มีขั้นตอนวิธีที่จะตรวจสอบว่า ไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท G กำกวมหรือไม่" เป็นปัญหาที่ตัดสินได้ ดังนั้นจะมีขั้นตอนวิธีที่จะตรวจสอบว่า ไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท G กำกวมหรือไม่ เรียกขั้นตอนวิธีนี้ว่า K (เราสามารถแสดงว่า มีขั้นตอนวิธีที่ตรวจสอบว่า คู่กรณีของพีซีพี (A, B) คู่ใด ๆ มีผลเฉลยหรือไม่) ให้ (A, B) เป็นคู่กรณีของพีซีพีคู่ใด ๆ เราสร้าง ไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทจาก (A, B) โดยให้มีสมบัติว่า G กำกวม ก็ต่อเมื่อ (A, B) มีผลเฉลย ดังนี้ กำหนดให้รายการ A ประกอบด้วย w1, ..., wk และ รายการ B ประกอบด้วย x1, ..., xk โดยที่ wi, xi + ทุก i = 1, 2, ..., k เลือก a1, ..., ak ที่ไม่ปรากฎใน และสร้างเซต LA และ LB ดังนี้ LA = { wi1...wimaim...ai1 | m , i1, i2, ..., im {1, 2, ..., n} } LB = { xi1...ximaim...ai1 | m , i1, i2, ..., im {1, 2, ..., n} } สร้างไวยากรณ์ G = < {S, SA, SB}, {a1, ..., ak}, P, S > ที่มีเซตของการผลิต P = { S SA | SB SA wiSAai | wiai ทุก i = 1, 2, ..., n SB xiSBai | xiai ทุก i = 1, 2, ..., n } เราพบว่า G กำกวม โดยที่ L(G) = LA LB ก็ต่อเมื่อ คู่กรณี (A, B) มีผลเฉลย เราสามารถแสดงได้ว่าปัญหาพีซีพี เป็นปัญหาที่ตัดสินได้ดังนี้ จากคู่กรณี (A, B) ข้างต้น เราสร้างไวยากรณ์ G เนื่องจากปัญหาการทดสอบว่าไวยากรณ์กำกวมหรือไม่เป็นปัญหาที่ตัดสินได้ โดยมีขั้นตอนวิธี K เราใช้ขั้นตอนวิธี K ในการหาคำที่ผลิตออกมาจากต้นไม้ที่ต่างกันสองต้น ซึ่งต้องได้มาจาก LA และ LB จากคำตอบที่ได้ทำให้เราสามารถหาผลเฉลยของคู่กรณี (A, B) โดยดูจาก ai1, ..., aim ที่ได้ สรุปได้ว่า ปัญหาพีซีพีเป็นปัญหาที่ตัดสินได้ ซึ่งขัดแย้ง ดังนั้น ปัญหาที่ถามว่า "มีหรือไม่มีขั้นตอนวิธีที่จะตรวจสอบว่า ไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท G กำกวมหรือไม่" เป็นปัญหาที่ตัดสินไม่ได้ ทฤษฎีบท : ปัญหาที่ถามว่า "มีหรือไม่มีขั้นตอนวิธีที่จะตรวจสอบว่า ไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท G1 และ G2 ใด ๆ L(G1) L(G2) = Ø หรือไม่" เป็นปัญหาที่ตัดสินไม่ได้ ทฤษฎีบทของกรายบาค : (Greibach's theorem) ให้ เป็นกลุ่มของภาษาที่มาจากชุดตัวอักษรโดยมีสมบัติว่า มีสมบัติปิดภายใต้การเขียนต่อกันกับเซตปกติ และมีสมมบัติปิดภายใต้การผนวก (union) และ สำหรับแต่ละสายอักขระ w * ปัญหาที่ถามว่า "มีหรือไม่มี ขั้นตอนวิธีที่จะตรวจสอบว่า สำหรับ L ใด ๆ ใน ที่ L *, L = * หรือไม่" เป็นปัญหาที่ตัดสินไม่ได้ ถ้า และ และ มีสมบัติว่า เซตปกติทุกเซตเป็นสมาชิกของ และ สำหรับทุกภาษา L และทุก a L ถ้า L แล้ว L/a ด้วย จะได้ว่า ปัญหาที่ถามว่า "มีหรือไม่มี ขั้นตอนวิธีที่จะตรวจสอบว่า สำหรับ L ใด ๆ ใน , L หรือไม่" เป็นปัญหาที่ตัดสินไม่ได้ ทฤษฎีบท : ปัญหาที่ถามว่า "มีหรือไม่มีขั้นตอนวิธีที่จะตรวจสอบว่า ไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท G ใด ๆ L(G) เป็นเซตปกติหรือไม่" เป็นปัญหาที่ตัดสินไม่ได้

Home | Previous | Next

© Copyright by กรุง สินอภิรมย์สราญ