จากความสามารถของเครื่องทัวริงที่ผ่านมา เราอยากทราบว่าภาษาที่เครื่องเหล่านี้ยอมรับคือภาษาประเภทใด ในบทนี้เราจะสนใจฟังก์ชันแทนการอธิบายภาษา เราสามารถมองเครื่องทัวริงว่ามีความสามารถในการคำนวณฟังก์ชันโดยที่ สายอักขระบนแถบข้อมูลรับเข้าแทนสมาชิกในโดเมนของฟังก์ชัน และเมื่อจบการทำงาน สายอักขระที่ปรากฎบนแถบข้อมูลนั้น แทนค่าของฟังก์ชันที่ได้ เราเรียกเครื่องทัวริงที่คำนวณค่าฟังก์ชันได้ว่า ฟังก์ชันทัวริง-คำนวณได้ (Turing computable function)
บทนิยาม : เรากล่าวว่า ฟังก์ชัน f เป็น ฟังก์ชันเริ่มต้น (initial function) ก็ต่อเมื่อ

1. f : _{0 0} โดยที่ f(x) = x + 1 ทุก x ₀ เราเขียนแทน f ด้วย S เรียกว่า ฟังก์ชันตัวตามหลัง (successor function)
2. f: _{0 0} และมี c ₀ ที่ f(x) = c ทุก x ₀ เราเรียกฟังก์ชันนี้ว่า ฟังก์ชันค่าคงตัว (constant function)
3. f : ₀^k ₀ โดยที่ k และมี i {1, 2, 3, ..., k} ที่ f(x₁, x₂, ..., x_k) = x_i ทุก (x₁, x₂, ..., x_k) ₀^k ในกรณีนี้เราเรียก f ว่า ฟังก์ชันภาพฉายตำแหน่งที่ i (i-th projection function) โดยมากนิยมเขียนแทนด้วย _i^k

เราสามารถสร้างฟังก์ชันที่คำนวณค่าต่างๆ ได้จากการแทนค่าฟังก์ชัน คือ
บทนิยาม : ให้ k, m และ g : ₀^k ₀, f : ₀^m ₀ และสำหรับแต่ละ i {1, 2, ..., k}, h_i : ₀^m ₀
เราจะกล่าวว่า f ได้จาก g และ h₁, h₂, ..., h_k โดยการแทนค่า ก็ต่อเมื่อ f(x₁, x₂, ..., x_m) = g(h₁(x₁, x₂, ..., x_m), h₂(x₁, x₂, ..., x_m) , ..., h_k(x₁, x₂, ..., x_m)) ทุก (x₁, x₂, ..., x_m) ₀^m
บทนิยาม : ให้ f, g, h เป็นฟังก์ชัน เรากล่าวว่า f ได้จาก g และ h โดยรีเคอร์ชันปฐมฐาน (primitive recursion) ก็ต่อเมื่อ

1. f: _{0 0}, g เป็นฟังก์ชันค่าคงตัว, h : ₀² ₀ โดยที่

   f(0) = g(0)

   f(y + 1) = h(y, f(y)) ทุก y ₀

2. หรือ f: ₀^m+1 ₀, g : ₀^m ₀, h : ₀^m+2 ₀ โดยที่

   f(x₁, x₂, ..., x_m, 0) = g(x₁, x₂, ..., x_m)

   f(x₁, x₂, ..., x_m, y + 1) = h(x₁, x₂, ..., x_m, y, f(x₁, x₂, ..., x_m, y)) ทุก y ₀

บทนิยาม : ฟังก์ชันรีเคอร์ซีฟปฐมฐาน (primitive recursive function) เป็นฟังก์ชันที่นิยามโดยวิธีเรียกซ้ำดังนี้

1. ฟังก์ชันเริ่มต้นทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันรีเคอร์ซีฟปฐมฐาน
2. ถ้า g, h₁, h₂, ..., h_k เป็นฟังก์ชันรีเคอร์ซีฟปฐมฐานแล้ว ฟังก์ชันที่ได้จาก g, h₁, ..., h_k โดยการแทนค่า จะเป็นฟังก์ชันรีเคอร์ซีฟปฐมฐาน
3. ถ้า g, h เป็นฟังก์ชันรีเคอร์ซีฟปฐมฐานแล้ว ฟังก์ชันที่ได้จาก g และ h โดยรีเคอร์ชันปฐมฐาน จะเป็นฟังก์ชันรีเคอร์ซีฟปฐมฐาน

และฟังก์ชันรีเคอร์ซีฟปฐมฐานมีเพียงที่กล่าวข้างต้นเท่านั้น
ทฤษฎีบท : ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันรีเคอร์ซีฟปฐมฐาน และพิสัยของ f เป็นสับเซตของโดเมนของ g แล้ว g f จะเป็นฟังก์ชันรีเคอร์ซีฟปฐมฐานด้วย
ตัวอย่างที่ 1: ฟังก์ชันเอกลักษณ์, I : _{0 0} นิยามโดย I(x) = x ทุก x ₀ เป็นฟังก์ชันรีเคอร์ซีฟปฐมฐาน
ตัวอย่างที่ 2: ฟังก์ชันการบวกจำนวนนับรวมศูนย์, h₊ : ₀² ₀ นิยามโดย h₊(x, y) = x + y ทุก x, y ₀ เป็นฟังก์ชันรีเคอร์ซีฟปฐมฐาน
ตัวอย่างที่ 3: ฟังก์ชันการคูณจำนวนนับรวมศูนย์, h_* : ₀² ₀ นิยามโดย h_*(x, y) = xy ทุก x, y ₀ เป็นฟังก์ชันรีเคอร์ซีฟปฐมฐาน
ตัวอย่างที่ 4: ฟังก์ชันตัวนำหน้า (predecessor function), D : _{0 0} นิยามโดย D(0) = 0 และ D(n+1) = n ทุก n ₀ เป็นฟังก์ชันรีเคอร์ซีฟปฐมฐาน
ตัวอย่างที่ 5: ฟังก์ชัน f : ₀² ₀ นิยามโดย f(m, n) = m - n ถ้า m n และเท่ากับศูนย์ในกรณีอื่น ๆ เป็นฟังก์ชันรีเคอร์ซีฟปฐมฐาน
จากฟังก์ชันที่นิยามทั้งหมด เราพบว่าโดเมนของฟังก์ชันเหล่านั้นจะเท่ากับ ₀ⁿ สำหรับฟังก์ชันบางประเภท เราอาจอยากให้คำนวณค่าของฟังก์ชันเฉพาะบางค่าใน ₀ⁿ ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันตัวนำหน้า เราอยากนิยามทุกค่าบน ที่ไม่ใช่ 0 เราทำได้โดย
บทนิยาม : ให้ m ₀, g : ₀^m+1 ₀, f เป็นฟังก์ชัน เรากล่าวว่า f ได้จาก g โดยการหาค่าน้อยสุด (minimalization) ก็ต่อเมื่อ สำหรับแต่ละ (x₁, x₂, ..., x_m) ₀^m

f(x₁, x₂, ..., x_m) = ค่าน้อยที่สุดของเซต { y ₀ | g(x₁, x₂, ..., x_m, y) = 0}

บทนิยาม : ฟังก์ชันรีเคอร์ซีฟ (recursive function) เป็นฟังก์ชันที่นิยามโดยวิธีเรียกซ้ำดังนี้

1. ฟังก์ชันรีเคอร์ซีฟปฐมฐานทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันรีเคอร์ซีฟ
2. ถ้า g, h₁, h₂, ..., h_k เป็นฟังก์ชันรีเคอร์ซีฟ แล้ว ฟังก์ชันที่ได้จาก g, h₁, h₂, ..., h_k โดยการแทนค่า จะเป็นฟังก์ชันรีเคอร์ซีฟ
3. ถ้า g, h เป็นฟังก์ชันรีเคอร์ซีฟ แล้วฟังก์ชันที่ได้จาก g และ h โดยรีเคอร์ชันปฐมฐาน จะเป็นฟังก์ชันรีเคอร์ซีฟ
4. ถ้า g เป็นฟังก์ชันรีเคอร์ซีฟ แล้วฟังก์ชันที่ได้จาก g โดยการหาค่าน้อยสุด จะเป็นฟังก์ชันรีเคอร์ซีฟ

และฟังก์ชันรีเคอร์ซีฟต้องได้จากกฎสี่ข้อนี้เท่านั้น
ตัวอย่างที่ 6 : จงแสดงว่า f₀ = {0} {0} เป็นฟังก์ชันรีเคอร์ซีฟ
ตัวอย่างที่ 7 : จงแสดงว่า f₄ = ₀ ที่นิยามโดย f₄(n) = n-1 ทุก n เป็นฟังก์ชันรีเคอร์ซีฟ
ทฤษฎีบท :

1. ถ้า f เป็นฟังก์ชันรีเคอร์ซีฟปฐมฐาน แล้ว จะมีเครื่องทัวริง M ที่คำนวณค่าของฟังก์ชัน f โดยเครื่องนี้หยุด (halt) การทำงานเสมอ เมื่ออ่านสายอักขระรับเข้าใด ๆ
2. f เป็นฟังก์ชันรีเคอร์ซีฟ ก็ต่อเมื่อ มีเครื่องทัวริง M ที่คำนวณค่าของฟังก์ชัน f โดยเครื่องนี้หยุด (halt) การทำงานเสมอ เมื่ออ่านสายอักขระรับเข้า ภายในโดเมนของฟังก์ชัน และอาจไม่หยุดในกรณีอื่น ๆ

ข้อสังเกต ฟังก์ชันรีเคอร์ซีฟ แตกต่างกับฟังก์ชันรีเคอร์ซีฟปฐมฐานที่โดเมนของฟังก์ชันรีเคอร์ซีฟ อาจเป็นทั้ง ₀^k หรือสับเซตของ ₀^k
บทกลับของทฤษฎีบทอาจไม่จริง นั่นคือ ถ้าเรามีเครื่องทัวริง M ที่คำนวณค่าของฟังก์ชัน f โดยที่เครื่องนี้หยุดเสมอ ฟังก์ชันที่ได้อาจไม่ใช่ฟังก์ชันรีเคอร์ซีฟปฐมฐาน
ตัวอย่างของฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชันรีเคอร์ชีฟปฐมฐาน และมีเครื่องทัวริง M ที่หยุดเสมอที่คำนวณค่าฟังก์ชันนี้ได้ คือฟังก์ชันของแอคเคอร์มานน์ (Ackermann's function) A : ₀² ₀ ที่นิยามโดย

A(0, y) = 1 ทุก y ₀

A(1, 0) = 2

A(x, 0) = x + 2 ทุกจำนวนนับ x 2

A(x+1, y+1) = A(A(x, y+1), y) ทุก x, y ₀

เซตรีเคอร์ซีฟและเซตอาร์อี (Recursive sets and R.E. sets)
จากฟังก์ชันรีเคอร์ซีฟที่กล่าวมา เราจะสนใจเครื่องทัวริงที่มีสมบัติในการคำนวณฟังก์ชัน ในส่วนนี้เราจะกลับมาสนใจเครื่องทัวริงที่สามารถ ตัดสินว่าสมาชิกใดอยู่หรือไม่อยู่ในเซต
บทนิยาม : ให้ L ^* เรากล่าวว่า L เป็น เซตที่แจงนับได้แบบรีเคอร์ซีฟ (recursively enumerable set) หรือเรียกสั้น ๆ ว่า เซตอาร์อี (R.E. set) ก็ต่อเมื่อ มีเครื่องทัวริง M อย่างน้อยหนึ่งเครื่องที่ยอมรับ L
และ L เป็นเซตรีเคอร์ซีฟ (recursive set) ก็ต่อเมื่อ ทั้ง L และ เป็นเซตอาร์อี
ทฤษฎีบท : L เป็นเซตรีเคอร์ซีฟ ก็ต่อเมื่อ มีเครื่องทัวริง M อย่างน้อยหนึ่งเครื่องที่ยอมรับ L และ M หยุดการทำงานเสมอ เมื่ออ่านสายอักขระรับเข้าใด ๆ
ข้อสังเกต

1. L เป็นเซตรีเคอร์ซีฟ ก็ต่อเมื่อ เป็นเซตรีเคอร์ซีฟ
2. เซตรีเคอร์ซีฟทุกเซต เป็นเซตอาร์อี

ตัวอย่างที่ 8 : จงแสดงว่า L = {0ⁿ1ⁿ | n ₀} เป็นเซตรีเคอร์ซีฟ
ตัวอย่างที่ 9: จงแสดงว่า L = Ø เป็นเซตรีเคอร์ซีฟ
ตัวอย่างที่ 10: จงแสดงว่า ^* เป็นเซตรีเคอร์ซีฟ
ตัวอย่างที่ 11: จงแสดงว่า 0⁺ เป็นเซตรีเคอร์ซีฟ
ตัวอย่างที่กล่าวมาทั้งหมดเป็นเซตรีเคอร์ซีฟ คำถามที่มีต่อมาคือ มีเซตใดหรือไม่ที่ไม่ใช่เซตรีเคอร์ซีฟ เราจะสร้างเซต L_d โดยใช้หลักตรรกศาสตร์และแสดงว่า เซตนี้ไม่เป็นเซตอาร์อี จากนั้นเราจะได้ว่า เซต L_u ไม่เป็นเซตรีเคอร์ซีฟ แต่เป็นเซตอาร์อี
ทฤษฎีบทประกอบ : สำหรับแต่ละ ที่กำหนดให้ และแต่ละ k ,

TM = {M | M เป็นเครื่องทัวริง และ M มีสถานะทั้งหมด k สถานะ}

มีจำนวนสมาชิกทั้งหมดไม่เกิน (1 + 3k ||)^(k ||)
ทฤษฎีบท : สำหรับแต่ละ ที่กำหนดให้ จะมีฟังก์ชัน ซึ่งเป็นฟังก์ชัน 1-1 จาก ไปทั่วถึง TM (TM เป็นเซตนับได้)
บทนิยาม : สำหรับแต่ละ ที่กำหนดให้ และ = {0, 1, , Z₀} เราสามารถจัดเรียงสมาชิกใน ^* โดยวิธีลำดับอักษรได้โดย

< 0 < 1 < 00 < 01 < 10 < 11 < 000 < 001 < ...

ถ้าสำหรับแต่ละ i ให้ w_i แทนสมาชิกตัวที่ i ของลำดับข้างต้น และสำหรับแต่ละ j ให้ M_j เป็นเครื่องทัวริงที่ตรงกับ (j) ในทฤษฎีบทที่แล้ว เราจะนิยาม ภาษาแนวทแยง (diagonal language) L_d ดังนี้

L_d = {w_i ^* | M_i ไม่ยอมรับ w_i, i }

ทฤษฎีบท : L_d ไม่เป็นเซตอาร์อี
ทฤษฎีบท : L_u = { <M,w> | M เป็นเครื่องทัวริง w {0,1}^* และ M ยอมรับ w} เป็นเซตอาร์อี แต่ไม่เป็นเซตรีเคอร์ซีฟ
ทฤษฎีบท : ให้ L₁ และ L₂ ^*

1. ถ้า L₁ และ L₂ เป็นเซตอาร์อี แล้ว L₁ L₂ และ L₁ L₂ เป็นเซตอาร์อี
2. ถ้า L₁ และ L₂ เป็นเซตรีเคอร์ซีฟ แล้ว L₁ L₂ และ L₁ L₂ เป็นเซตรีเคอร์ซีฟ

ตัวอย่างที่ 12 : จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้จริงหรือเท็จ และแสดงการพิสูจน์

1. ถ้า L₁ และ L₂ เป็นเซตอาร์อี แล้ว L₁ - L₂ เป็นเซตอาร์อี
2. ถ้า L₁ และ L₂ เป็นเซตรีเคอร์ซีฟ แล้ว L₁ - L₂ เป็นเซตรีเคอร์ซีฟ
3. ถ้า L₁, L₂, L₃ เป็นเซตรีเคอร์ซีฟ แล้ว - (L₂ L₃) เป็นเซตรีเคอร์ซีฟ