• Recurrence equation
• Characteristic equation
• Homogeneous recurrences
• Inhomogeneous recurrences

นิยาม ความสัมพันธ์เวียนเกิด (Recurrence relation)
ความสัมพันธ์เวียนเกิดคือ การนิยามฟังก์ชันโดยใช้นิพจน์ที่มีความสัมพันธ์นั้นปรากฎอยู่
ตัวอย่างเช่น ลำดับ Fibonacci
F(n) = F(n-1) + F(n-2), F(1) = 1, F(2) = 1
ถ้าเราสามารถเขียน F(n) ในรูปแบบของฟังก์ชันอื่น ๆ ที่ไม่ขึ้นกับ F แล้วเราจะเรียกฟังก์ชันใหม่นั้นว่า คำตอบของความสัมพันธ์เวียนเกิด

การแก้ความสัมพันธ์เวียนเกิด

1. ประสบการณ์และการคาดคำตอบ (Intelligent guesswork)
   วิธีการนี้ใช้การจำแนกและแยกแยะความสัมพันธ์โดยอาศัยประสบการณ์ ซึ่งแบ่งได้เป็น 4 ขั้นตอนดังนี้
   1. คำนวณค่าตอนแรกมา 3-9 ค่า
   2. ดูรูปแบบของเทอมและการเพิ่มขึ้นอย่างเป็นแบบแผน
   3. คาดการณ์สูตรจากรูปแบบที่เกิดขึ้น
   4. พิสูจน์โดยใช้อุปนัยคณิตศาสตร์ เพื่อยืนยันคำตอบ

   ตัวอย่าง
   T(n) = 3 T(n ÷ 2) + n ถ้า n 0, T(0) = 0
   1. คำนวณค่าบางตัวสำหรับเลขที่หารสองลงตัว

   n	1	2	4	8	16	32
   T(n)	1	5	19	65	211	665

   2. การดูรูปแบบ เราควรเขียนตารางข้างล่าง

   n	T(n)
   1	1
   2	3 × 1 + 2
   22	32 × 1 + 3 × 2 + 22
   23	33 × 1 + 32 × 2 + 3 × 22 + 23
   24	34 × 1 + 33 × 2 + 32 × 2 2 + 3 × 23 + 24
   25	35 × 1 + 34 × 2 + 33 × 2 2 + 32 × 2 3+ 3 × 24 + 25

   3. เราจะได้สูตรว่า
   T(2ⁿ) = 3ⁿ2⁰ + 3^n-12¹ + 3^n-22² + . . . + 3¹ × 2^n-1 + 3⁰2ⁿ
   = 3ⁿ (2/3)ⁱ = 3ⁿ⁺¹ - 2ⁿ⁺¹
   4. ทำให้อยู่ในรูป n จะได้
   T(n) = T(2^{lg n}) = 3^{1 + lg n} - 2^{1 + lg n} = 3 n^{lg 3} - 2 n เมื่อ n = 2^k
   หลังจากนั้นเราจึงพิสูจน์โดยใช้อุปนัยคณิตศาสตร์

2. ความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเอกพันธุ์
   อยู่ในรูป a₀ t_n + a₁ t_n-1 + . . . + a_k t_n-k = 0
   มีคุณสมบัติ
   • เชิงเส้น
   • เอกพันธ์เพราะสัมประสิทธิ์ข้างหน้า t_n-i เป็นการรวมเชิงเส้นที่มีค่าเป็นศูนย์
   • สัมประสิทธิเป็นค่าคงตัว
   เราพบว่า Fibonacci sequence สอดคล้องความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเอกพันธุ์ เพราะ f_n - f_n-1 - f_n-2 = 0
   เราจะได้ข้อสังเกตว่าถ้า g_n และ h_n เป็นคำตอบแล้ว การรวมเชิงเส้นของ g_n และ h_n จะเป็นคำตอบด้วยเสมอ นั่นคือ c g_n + d h_n เป็นคำตอบด้วย
   ถ้าเราแทน t_n ด้วย xⁿ แล้วจะได้
   a₀ xⁿ + a₁ x^n-1 + . . . + a_k x^n-k = 0
   ซึ่ง x = 0 เป็นคำตอบหนึ่ง มิฉะนั้น หารตลอดด้วย x^n-k
   
   a₀ x^k + a₁ x^k-1 + . . . + a_k = 0
   เรียกว่า สมการลักษณะเฉพาะของความสัมพันธ์เวียนเกิด และเรียก
   p(x) = a₀ x^k + a₁ x^k-1 + . . . + a_k
   ว่า พหุนามลักษณะเฉพาะ ซึ่งจะมีรากอยู่ k ราก เราสามารถเขียนได้ในรูปแบบ
   p(x) = (x - r_i) ดังนั้น t_n = c_ir_iⁿ เป็นคำตอบของสมการด้วย

   ตัวอย่าง(Fibonacci)
   กำหนด f_n = n ถ้า n = 0 หรือ n = 1
   f_n = f_n-1 + f_n-2 ในกรณีอื่น ๆ
   เราสามรถเขียนได้เป็น f_n - f_n-1 - f_n-2 = 0
   พหุนามลักษณะเฉพาะคือ x² - x - 1 ซึ่งมีคำตอบคือ r₁ = และ r₂ = ดังนั้นคำตอบทั่วไปคือ
   f_n = c₁ r₁ + c₂ r₂
   แก้สมการหาค่า c₁ และ c₂ จะได้ f_n = [ ()ⁿ - ()ⁿ]

3. ความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบไม่เอกพันธ์
   a₀ t_n + a₁ t_n-1 + . . . + a_k t_n-k = bⁿ p(n) มีคุณสมบัติ
   • b เป็นค่าคงตัว
   • p(n) เป็นโพลิโนเมียลฟังก์ชันของ n ระดับขั้น d

   ตัวอย่าง
   พิจารณา t_n - 2 t_n-1 = 3ⁿ ในกรณีนี้ b = 3, p(n) = 1 สามารถแปลงเป็นสมการเอกพันธ์ได้

   1. คูณ 3: 3 t_n - 6 t_n-1 = 3ⁿ⁺¹
   2. แทน n ด้วย n-1: 3 t_n-1 - 6 t_n-2 = 3ⁿ
   3. จาก 1 และ 2: t_n - 5 t_n-1 + 6t_n-2 = 0
   4. พหุนามลักษณะเฉพาะ: x² - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0
   5. จะได้ t_n = c₁ 2ⁿ + c₂3ⁿ
   6. แก้สมการ: c₁ + c₂ = t₀, 2 c₁ + 3 c₂ = 2 t₀ + 3
   7. c₁ = t₀ - 3, c₂ = 3: t_n = (t₀ - 3)2ⁿ + 3ⁿ⁺¹

   ตัวอย่าง
   พิจารณา t_n - 2 t_n-1 = (n + 5) 3ⁿ, n 1

   • เขียนความสัมพันธ์เวียนเกิด
   • แทนค่า n ด้วย n - 1 แล้วคูณด้วย -6
   • แทนค่า n ด้วย n - 2 แล้วคูณด้วย 9
   • จะได้

     tn	- 2 tn-1			= (n+5)3n
     	- 6 tn-1	+ 12 tn-2		= -6 (n+4) 3n-1
     		9 tn-2	- 18 tn-3	= 9(n+3) 3n-2

   • t_n - 8 t_n-1 + 21 t_n-2 - 18 t_n-3 = 0
   • พหุนามลักษณะเฉพาะ: x³ - 8 x² + 21 x - 18 = (x - 2)(x - 3)² = 0
   • จะได้ t_n = c₁ 2ⁿ + c₂3ⁿ + c₃ n 3ⁿ
   • แก้สมการ: c₁ + c₂ = t₀
     2 c₁ + 3 c₂ + 3 c₃ = 2 t₀ + 18
     4 c₁ + 9 c₂ + 18 c₃ = 4 t₀ + 99
   • c₁ = t₀ - 9, c₂ = 9, c₃ = 3: t_n = (t₀ - 9)2ⁿ + (n + 3) 3ⁿ⁺¹

   สรุป
   สำหรับ a₀ t_n + a₁ t_n-1 + . . . + a_k t_n-k = bⁿ p(n)
   เราสามารถใช้ พหุนามลักษณะเฉพาะ ในรูป
   a₀ x^k + a₁ x^k-1 + . . . + a_k)(x - b)^d+1

   ตัวอย่าง
   พิจารณา t_m = 2 t_m-1 + 1, t₀ = 0 อยู่ในรูป t_m - 2 t_m-1 = 1

   • พหุนามลักษณะเฉพาะคือ (x - 2)(x - 1)
   • t_m = c₁ 1^m + c₂ 2^m
   • แก้สมการ: c₁ + c₂ = 0, c₁ + 2 c₂ = 1
   • c₁ = -1, c₂ = 1: t_m = 2^m - 1

   ตัวอย่าง
   

   1. จงหาคำตอบของความสัมพันธ์เวียนเกิด t_n = 2 t_n-1 + n, t₀ = 1
   2. จงหาคำตอบของความสัมพันธ์เวียนเกิด t_n = 4 t_n-1 - 2ⁿ, t₀ = 1

   สรุป
   สำหรับ a₀ t_n + a₁ t_n-1 + . . . + a_k t_n-k = b₁ⁿ p₁(n) + b₂ⁿ p₂(n) + . . .
   เราสามารถใช้ พหุนามลักษณะเฉพาะ ในรูป
   (a₀ x^k + a₁ x^k-1 + . . . + a_k)(x - b₁)^d1+1 (x - b₂)^d2+1 ในการแก้ปัญหาได้เสมอ เมื่อ d1, d2, . . . คือระดับขั้นของ p₁(n), p₂(n), . . .

   ตัวอย่าง
   จงหาคำตอบของความสัมพันธ์เวียนเกิด t_n = 2 t_n-1 + n + 2ⁿ, t₀ = 0

   การเปลี่ยนตัวแปร
   เราอาจเปลี่ยนตัวแปร n หรือ t

   1. T(n) = 3 T(n/2) + n เมื่อ n = 2^k, T(1) = 1
   2. T(n) = 4 T(n/2) + n²
   3. T(n) = 2 T(n/2) + n lg n
   4. T(n) = L T(n/b) + c n^k
      จะได้ว่า
   5. T(n) = n T²(n/2), T(1) = 1/3