ไวยากรณ์ (grammar)
งานอย่างหนึ่งที่เรามักใช้คอมพิวเตอร์ช่วย คือการตรวจวากยสัมพันธ์ (Syntax) ของการเขียนโปรแกรมภาษาซี
เรามักต้องใช้โครงสร้างการซ้อนใน (nested structure) ซึ่งการเขียนในลักษณะนี้จะได้เซตของสัญลักษณ์ที่เป็นไปได้
ไม่ใช่เซตปกติ เพราะถ้าเราพิจารณา L = {anbn | n 
 } และเมื่อเราแทน a ด้วย ( และ b ด้วย ) เราจะเห็นได้ว่า สายอักขระที่ L
ยอมรับต้องมีจำนวนวงเล็บเปิดเท่ากับจำนวนวงเล็บปิดและต้องมีวงเล็บเปิดขึ้นหน้าก่อนเสมอ L เป็นภาษาที่มีลักษณะโครงสร้างการซ้อนใน
แต่ภาษานี้ไม่ใช่ภาษาปกติ ดังนั้นเราไม่สามารถใช้ออโตมาตาจำกัดเชิงกำหนด ช่วยในการตรวจสอบวากยสัมพันธ์
เราจำเป็นต้องใช้เครื่องออโตมาตาที่มีความสามารถมากกว่า ออโตมาตาจำกัดเชิงกำหนด (นั่นคือออโตมาตากดลง)
โดยเราจะสนใจภาษาที่ออโตมาตาประเภทใหม่นี้ยอมรับได้
เราเริ่มด้วยการพิจารณาไวยากรณ์ที่ใช้ในชีวิตประจำวัน พิจารณากฎในการสร้างประโยคในภาษาอังกฤษ
| sentence | สร้างได้จาก
noun phrase ตามด้วย verb |
| noun phrase | อนุญาต
ให้เป็น noun หรือ adjective ตามด้วย noun phrase |
| noun | อาจเป็น
boy หรือ girl |
| adjective | ให้เป็น
little เท่านั้น |
| verb | ให้เป็น
walk เท่านั้น |
ประโยคที่เกิดจากกฎเหล่านี้เช่น little boy walk, little little girl walk เราเขียนกฎข้อ (1)-(5) ได้ดังนี้
| < sentence > |
 |
< noun phrase > < verb > |
| < noun phrase > |
|
< noun > | < adjective > < noun phrase > |
| < noun > |
|
boy | girl |
| < adjective > |
|
little |
| < verb > |
|
walk |
หรือในรูปแบบ บีเอ็นเอฟ (BNF) คือ
| < sentence > |
:: = |
< noun phrase > < verb > |
| < noun phrase > |
:: = |
< noun > | < adjective > < noun phrase > |
| < noun > |
:: = |
boy | girl |
| < adjective > |
:: = |
little |
| < verb > |
:: = |
walk |
กฎทั้งหมดที่เขียนขึ้นรวมกันเรียกว่าไวยากรณ์ (Grammar) เราเรียก walk, little, boy และ girl ว่าเป็น คำปลายทาง (terminal) เนื่องจากคำเหล่านี้
ไม่มีการเขียนขยายความหมายต่อไปได้ ส่วน < noun >, < noun phrase >, < adjective >, < verb >, < sentence
> ซึ่งเราใช้กฎในการเปลี่ยนได้เรื่อยๆ (เช่น little boy, little girl, little little boy, little little girl เป็น noun phrase ทั้งสิ้น) จึงเรียกคำเหล่านี้ว่า
การผลิต (production) และเรียก < sentence > ว่า สัญลักษณ์เริ่มต้น (start symbol)
ข้อสังเกตุ ส่วนของไวยากรณ์ที่เราเขียนข้างต้นจะไม่มีคำปลายทางปรากฎอยู่ทางซ้ายของกฎ
ทำให้เราเรียกไวยากรณ์ประเภทนี้ว่า ไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท
บทนิยาม ไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท (context-free grammar) แต่ละชุดประกอบด้วย
- เซตของตัวแปร (variables) ทั้งหมดซึ่งเป็นเซตจำกัด V
- เซตของคำปลายทาง (terminals) ทั้งหมดซึ่งเป็นเซตจำกัด T
- เซตของกฎการผลิต (production rules) ทั้งหมดซึ่งเป็นเซตจำกัด P
และมีเงื่อนไขที่ว่าแต่ละการผลิต (production) ใน P ต้องอยู่ในรูปแบบ A
 เมื่อ A V และ
(V
 T)*
- สัญลักษณ์เริ่มต้น (Start ymbol) S ซึ่งต้องเป็นสมาชิกของ V
เขียนแทนไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทแต่ละชุดด้วย <V, T, P, S >
หมายเหตุ สัญลักษณ์ A
1 | 2 | . . . |
n
หมายถึง A 1 หรือ
A 2 หรือ . . . หรือ
A n
ตัวอย่างที่ 1:
<{S}, {a, b}, P, S > เป็นไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทชุดหนึ่งเมื่อ P ประกอบด้วย S
aSb | ab
นิยาม ให้ G = < V, T, P, S > เป็นไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทที่
, 
(V T)*
- เรากล่าวว่า แปลงมาจาก
โดยตรง เขียนแทนด้วย
ก็ต่อเมื่อมี A V และ
1, 2,
 (V
T)* ที่ทำให้ =
1 A 2,
= 1
2
และ A เป็นการผลิตใน P
- และ แปลงมาจาก
เขียนแทนด้วย
ก็ต่อเมื่อ =
หรือมี 1,
2, ..., n
(V T)* ที่
1 = ,
n = และ
1
2, 2
3, ...,
n-1
n
หรือเขียนได้เป็น 1
2 ...
n
และเรียกว่าเป็น การแปลง (derivation) ของ จาก
ภาษาที่เกิดจาก G เขียนแทนด้วย L(G) คือเซตของสายอักขระ w T*
โดยที่ w แปลงมาจาก S ดังนั้น L(G) = {w T* | S
w} และเรียกสมาชิกทุกตัวใน L(G) ว่า ประโยค
ภาษา L จะเป็น ภาษาไม่พึ่งบริบท (Context-free language) ซึ่งเรียกสั้นๆ ว่า ซีเอฟแอล (CFL) ก็ต่อเมื่อ เราสามารถหา
ไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท G ซึ่ง L = L(G) เรากล่าวว่า G ก่อกำเนิด L
- G1 สมมูลกับ G2 ก็ต่อเมื่อ L(G1) = L(G2)
จาก ตัวอย่างที่ 1 ให้ G = <{S}, {a, b}, P, S > เป็นไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทที่มี P เป็นเซตของการผลิตที่ประกอบด้วย
S aSb | ab
จงตรวจสอบว่า S  aaabbb และ
S aababbb หรือไม่ และจงหา L(G)
การแสดงว่า S aaabbb เราอาจใช้แผนภาพที่เรียกว่า ต้นไม้การแปลงเพื่อแสดงการใช้กฎดังนิยาม
นิยาม ให้ G = <V, T, P, S > เป็นไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท เรากำหนดให้ ต้นไม้การแปลง
(derivation tree) คือกราฟที่มีทิศทาง (directed graph) ที่เป็นต้นไม้ซึ่งสอดคล้องเงื่อนไขต่อไปนี้
- จุดยอดแต่ละจุดเป็นสมาชิกของ V T
{
 }
- รากคือ S
- ใบไม้ทุกใบเป็นสมาชิกของ T
{}
- จุดยอดทุกจุดที่ไม่ใช่ใบไม้เป็นสมาชิกของ V
- จุดยอดใดก็ตามที่มี A V เขียนกำกับ ถ้าลูกของ A (จากซ้ายไปขวา) คือ
x1, x2, ..., xn แล้ว A x1
x2 ... xn เป็นการผลิตแบบหนึ่งใน P โดยที่ลำดับการปรากฎของลูกจากซ้ายไปขวามีความสำคัญ
- จุดยอดที่มี เขียนกำกับต้องไม่มีพี่และน้อง (sibling)
สำหรับต้นไม้การแปลง เราอาจไม่สนใจต้นไม้ที่มีรากเป็น S เสมอ และใบไม้ก็อาจไม่จำเป็นต้องเป็นคำปลายทางหรือ
ซึ่งเราเรียกต้นไม้ประเภทนี้ว่า ต้นไม้การแปลงย่อย (Partial derivation tree)
เป็นกราฟที่มีทิศทางที่เป็นต้นไม้ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขของต้นไม้การแปลง (1), (4), (5) และ (6)
เรานิยามว่า ต้นไม้การแปลงหรือต้นไม้การแปลงย่อย ผลิต (yield) สายอักขระ
(V T)* ก็ต่อเมื่อ
เป็นสายอักขระที่ได้จากการอ่านสัญลักษณ์ที่เขียนกำกับใบไม้ทุกใบจากซ้ายไปขวา
ในกรณีที่พบ เราลดรูปโดยไม่เขียนสัญลักษณ์
ตัวอย่างที่ 2: ให้ G = <{S, A, B}, {a, b}, P, S > เป็นไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทที่มี
- S aAB, A bBb,
B A |
จงเขียนต้นไม้การแปลงที่ผลิตสายอักขระ abbbb และจงเขียนต้นไม้การแปลงย่อยที่ผลิตสายอักขระ abBbB
เราพบว่ามีการแปลงอย่างน้อยสองแบบที่เกิดจากต้นไม้การแปลงนี้คือ
- S
 aAB abBbB
abbB abbA
abbbBb abbbb
- S aAB aAA
aAbBb aAbb
abBbbb abbbb
เราเรียกการแปลงแบบแรกว่า การแปลงซ้ายสุด (leftmost derivation) ซึ่งหมายความว่าตัวแปรถูกแทนที่โดยเริ่มจากตัวแปรที่อยู่ทางซ้ายสุดของสายอักขระ
การแปลงไล่ไปทางขวาจนได้สายอักขระที่ต้องการ และเราเรียกการแปลงแบบที่สองว่า การแปลงขวาสุด (rightmost derivation)
ซึ่งหมายความว่าตัวแปรที่อยู่ทางขวาสุดถูกแทนที่ไล่มาทางขวามาซ้ายจนไม่มีตัวแปรเหลืออยู่เลย
นิยาม ให้ G = < V, T, P, S > เป็นไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทชุดหนึ่งและ
- 1
2 ...
n
เป็นการแปลงของ n จาก
1
จะกล่าวว่า การแปลงนี้เป็น การแปลงซ้ายสุด (Leftmost derivation) ก็ต่อเมื่อ ทุก k {1, 2, ...,
n-1} เราใช้การผลิตกับตัวแปรซ้ายสุดใน k เสมอ
ในทำนองเดียวกัน การแปลงนี้เป็น การแปลงขวาสุด (Rightmost derivation) ก็ต่อเมื่อ ทุก k
{1, 2, ..., n-1} เราใช้การผลิตกับตัวแปรขวาสุดใน k เสมอ
สำหรับไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทใดๆ ที่ G = < V, T, P, S >
ทุก w ที่แปลงมาจาก S จะมีต้นไม้การแปลงในไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทเสมอที่สมนัยกับการแปลงนั้น
ไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทบางไวยากรณ์อาจก่อกำเนิดสายอักขระ w ที่มีต้นไม้การแปลงที่ผลิต w ได้มากกว่าหนึ่งต้น
เราเรียกไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทนี้ว่า กำกวม
ตัวอย่างที่ 3: ให้ G = < V, T, P, E > เป็นไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทที่มี V = {E, I}, T = {a, b, c, +, *, (, ) }
และ P เป็นเซตของการผลิต
- E I | E + E | E * E | (E), I
a | b | c
สายอักขระในภาษาที่ได้จะมีลักษณะคล้ายกับนิพจน์การคำนวณในภาษา FORTRAN หรือ PASCAL และถ้าเราพิจารณาสายอักขระ a + b * c เราจะได้ต้นไม้การผลิตสองต้นคือ
นิยาม ให้ G = < V, T, P, S > เป็นไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทชุดหนึ่ง เรากล่าวว่า G กำกวม
(ambiguous) ก็ต่อเมื่อ มี w L(G) ที่มีต้นไม้การแปลงที่ผลิต w มากกว่า 1 ต้น
- สำหรับภาษาไม่พึ่งบริบท L ใด ๆ L เป็น ภาษาที่ไม่กำกวม (unambiguous) ก็ต่อเมื่อ มีไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทที่ไม่กำกวมก่อกำเนิด L
- เรากล่าวว่า L กำกวมแบบฝังติด (inherently ambiguous) ก็ต่อเมื่อสำหรับไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบททุกไวยากรณ์ G ที่ก่อกำเนิด L,
ไวยากรณ์ G นั้นกำกวมเสมอ
ตัวอย่างที่ 2 เป็นตัวอย่างของไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท G ที่กำกวม (ambiguous) แต่ L(G) เป็นภาษาไม่พึ่งบริบทที่ไม่กำกวม (unambiguous)
เพราะเราสามารถสร้างไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทที่ไม่กำกวมที่สมมูลกับ L(G) ได้คือ
G' = < {E, A, B, I}, {a, b, c, +, *, (, ) }, P, E > โดยที่เซตของการผลิต P ประกอบไปด้วย
- E E+A | A, A B | A*B,
B I | (E), I a | b | c
ตัวอย่างที่ 4: ให้ L1 = {anbncmdm |
m, n }, L2 =
{anbmcmdn | m, n
}, และ L = L1 L2
จะได้ว่า L1, L2 และ L เป็นภาษาไม่พึ่งบริบท เพราะเราสามารถหาไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทที่ก่อกำเนิดภาษาเหล่านี้ได้คือ
- G1 = < {S1, A, B}, {a, b, c, d }, P1, S1 > โดยที่เซตของการผลิต
P1 ประกอบไปด้วย S1 aAbcBd, A
aAb | , B
cBd |
- G2 = < {S2, C, D}, {a, b, c, d }, P2, S2 > โดยที่เซตของการผลิต
P2 ประกอบไปด้วย S2 aCd, C
aDd | bDc | bc, D bDc | bc
- G = < {S, S1, S2, A, B, C, D}, {a, b, c, d }, P, S > โดยที่เซตของการผลิต
P ประกอบไปด้วย S S1 | S2, S1
aAbcBd, A aAb |
, B cBd |
, S2 aCd, C
aDd | bDc | bc, D bDc | bc
ประโยคในรูป anbncndn เป็นสมาชิกตัวหนึ่งใน L =
L1 L2 ซึ่งเราสามารถสร้างการผลิตโดยใช้กฎที่เกี่ยวข้องกับ
S1, A, B หรือ กฎที่เกี่ยวข้องกับ S2, C, D ทำให้ได้ต้นไม้การแปลงสองต้นเป็นอย่างน้อยดังนั้น ไวยากรณ์ G กำกวม
สำหรับตัวอย่างนี้ เราไม่สามารถหาไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทที่ไม่กำกวมได้ ด้วยเหตุผลดังนี้
- ถ้าเราสมมติว่ามีไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทที่ไม่กำกวมก่อกำเนิดภาษานี้ เราต้องได้ว่าไวยากรณ์ที่ไม่กำกวมนั้นต้องสามารถสร้างประโยคในรูปแบบ
anbncndn ได้เสมอ และต้องมีต้นไม้การแปลงทางซ้ายเพียงแบบเดียว เราเพียงปรับต้นไม้การแปลง
ที่ได้จากกฎที่เกี่ยวข้องกับ S1, A, B เป็นกฎของ S2 ที่ใช้ C, D เราจะยังคงได้ประโยคเดิมแต่มีต้นไม้การแปลงสองต้นที่ต่างกัน
เกิดการขัดแย้ง
ทำให้ได้ว่าภาษาไม่พึ่งบริบทนี้เป็นภาษากำกวมแบบฝังติด
นอกจากไวยากรณ์ที่กำกวมแล้ว เราอาจมีไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทที่มีกฎการผลิตบางกฎที่ไม่มีโอกาสถูกใช้สร้างประโยค เนื่องจากตัวแปร
ไม่มีการแปลงที่เกิดมาจาก S ได้ ตัวอย่างเช่น
G = < {S,A,B}, {a}, P, S > โดยที่เซตของการผลิต P ประกอบด้วย S
AB | aAS | a, A a ซึ่งไม่มีประโยคที่เกิดจากตัวแปร B เราจะเรียกตัวแปร B นี้ว่า
ตัวแปรไร้ประโยชน์ (useless variable) และเรียกการผลิต S AB ว่า
การผลิตไร้ประโยชน์ (useless production) ซึ่งในกรณีนี้ เราสามารถสร้างไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทที่สมมูลกับ G โดยไม่มีตัวแปรไร้ประโยชน์ได้คือ
G' = < {S,A}, {a}, P', S > โดยที่ P' ประกอบด้วย S aAS | a, A
a จะได้ L(G) = L(G')
นิยาม
ให้ G = < V, T, P, S > เป็นไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทชุดหนึ่งและ A V,
- A เป็น ตัวแปรมีประโยชน์ (useful variable) ก็ต่อเมื่อ มี w L(G) และ
x, y (V T)*
ที่ทำให้ S xAy w
- สำหรับตัวแปรตัวใดที่ไม่ใช่ตัวแปรมีประโยชน์ เราจะเรียกตัวแปรนั้นว่า ตัวแปรไร้ประโยชน์ (useless variable) และ
การผลิตที่มีตัวแปรไร้ประโยชน์อยู่ จะเรียกว่า การผลิตไร้ประโยชน์ (useless production)
ในการบ่งบอกว่าตัวแปรใดเป็นตัวแปรไร้ประโยชน์ เราสามารถใช้กราฟพึ่งพาได้ซึ่งนิยามดังนี้
นิยาม กราฟพึ่งพา (Dependency graph) คือกราฟเทียมที่มีทิศทาง โดยที่เซตของจุดยอดคือ
เซตของตัวแปรทั้งหมด และเซตของอาร์ก นิยามโดย
- สำหรับตัวแปร A และ B ใดๆ จะมีอาร์กจากจุดยอด A ไปจุดยอด B ก็ต่อเมื่อมี x, y
(V T)* ที่ทำให้
A xBy เป็นการผลิตแบบหนึ่ง
ตัวอย่างของกราฟพึ่งพา เช่น
ทฤษฎีบท สำหรับแต่ละไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท G = < V, T, P, S > ถ้า L(G)
 Ø แล้วจะมีไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท G' = < V', T', P', S > ที่ L(G') = L(G) โดยที่ G'
ไม่มีทั้งตัวแปรไร้ประโยชน์ และการผลิตไร้ประโยชน์
พิสูจน์ ส่วนที่ 1: สร้าง G' = < V', T, P', S > โดยที่ V' = {A V | มี w
T* ที่ A w } ดังนี้
- (1.1) ให้ V1 = {A V | มี w
T* ที่ A w เป็นการผลิตใน P }
- (1.2) สำหรับแต่ละ n ให้
Vn+1 = Vn { B V
| มี (Vn
T)* ที่ B
เป็นการผลิตใน P }
- ทำซ้ำ (1.2) จนกระทั่งได้ L ที่
VL+1 = VL เรียกเซตนั้นว่า V' นั่นคือ V' = VL
- (1.3) ให้ P' เป็นเซตของการผลิตทั้งหมดใน P ที่สัญลักษณ์ทั้งหมดที่ปรากฎในการผลิต เหล่านั้นเป็นสมาชิกของ
(V' T)
ตัวอย่างที่ 5: กำหนดให้ G = < {S, A, B, C}, {a,b}, P, S > เป็นไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท โดยที่เซตของการผลิต
P ประกอบด้วย S aS | A | C, A a,
B aa, C aCb
- ใช้ (1.1) ได้ V1 = { A, B }
- ใช้ (1.2) ได้ V2 = { A, B } {S} ใช้ (1.2) อีกครั้งเราพบว่า V3 = V2
- ดังนั้น V' = {S, A, B} และ P' ประกอบด้วย S aS | A, A
a, B aa
- เพราะฉะนั้น G' = < {S, A, B}, {a,b}, P', S > เขียนกราฟพึ่งพาดังนี้
พิสูจน์ ส่วนที่ 2:
สร้าง Gh จาก G' โดยเริ่มจากการเขียนกราฟพึ่งพาของ G' และให้ Vh เป็นเซตของตัวแปร
ทั้งหมดใน V' ที่มี path จาก S และ Ph เป็นเซตของการผลิตทั้งหมดใน P' ที่สัญลักษณ์ทั้งหมดที่ปรากฎในการผลิตเหล่านั้น
เป็นสมาชิกของ (Vh T) ให้ Th = T
จากตัวอย่างจึงได้ Vh = {S, A}, Ph = { S aS,
S A, A a} และ Gh =
< {S, A}, {a, b}, Ph, S > ตามต้องการ
นิยาม การผลิต-
(-production) คือการผลิตในไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทที่อยู่ในรูปแบบ A
และ เราเรียกตัวแปร A นี้ว่า
ตัวแปรว่าง (nullable) ซึ่งหมายถึงตัวแปรที่ผลิต
ตัวอย่างที่ 6: กำหนดไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท G = < {S, A, B, C, D}, {a, b, d}, P, S > ซึ่งมีเซตของการผลิต
P คือ S ABaC, A BC, B
b | , C
D | , D
d
จงหาไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทที่สมมูลกับ G โดยที่ไวยากรณ์ใหม่นี้ไม่มีการผลิต-
ขั้นที่ 1 หาเซตของตัวแปรว่างทั้งหมด V'
- (1.1) เริ่มต้นใส่ตัวแปรทุกตัวที่ให้การผลิต- เข้าไปใน V1
- (1.2) ใส่ตัวแปรทุกตัวใน Vn เข้าใน Vn+1 และใส่ตัวแปร X ใด ๆ ที่ X
X1 X2 . . . Xn เป็นการผลิตใน P โดย
X1, X2, . . ., Xn ปรากฏใน Vn เข้าไปใน Vn+1
- (1.3) ทำ (1.2) ไปเรื่อยๆ จนกระทั่ง Vk+1 = Vk เราเรียกเซตของตัวแปรว่างใหม่นี้ว่า V'
เมื่อเราใช้ขั้นตอนวิธีนี้กับตัวอย่างที่หนึ่ง จาก (1.1) เราได้ V1 = {B, C}, V2 = {B, C, A}, V3 = {B, C, A}
ดังนั้น V' = {A, B, C}
ขั้นที่ 2 สร้างเซตของการผลิต P'
- (2.1) ใส่การผลิตทุกแบบที่ไม่ใช่การผลิต- เข้าไปใน P'
- (2.2) สำหรับการผลิต E เมื่อ
(V'
T)+ และ มีตัวแปรว่างปรากฎ
ให้แทนตัวแปรว่างด้วย ใส่การผลิตทั้งหมดที่ไม่ใช่
การผลิต- ลงไปใน P'
ใช้ (2.1) ได้ P' = { S ABaC, A BC,
B b, C D,
D d}
(2.2) กับ C ได้ P' = P' { A B,
S ABa}
(2.2) กับ B ได้ P' = P' { A C,
S AaC, S Aa}
(2.2) กับ A ได้ P' = P' {S BaC |
Ba, ac, Aa, a}
จะได้การผลิตใหม่คือ
- S ABaC | BaC | AaC | ABa | aC | Aa | Ba | a,
- A B | C | BC,
- B b, C D,
D d
ขั้นที่ 3 ให้ G' = < V', T, P', S > ตามที่สร้างข้างต้น เราจะได้ว่า L(G') = L(G)
ทฤษฎีบท สำหรับไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท G ใด ๆ ถ้า
 L(G) แล้วจะมีไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท G' ที่สมมูลกับ G และ G'
ไม่มีการผลิต-
บทแทรก ถ้า L เป็นภาษาไม่พึ่งบริบทโดยที่
L และ L Ø แล้วจะมีไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท
G' ที่ L = L(G') และ G' ไม่มีตัวแปรไร้ประโยชน์ การผลิตไร้ประโยชน์ และการผลิต-
ในบางกรณีไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท อาจมีกฎการผลิตที่อยู่ในรูปแบบ A B โดยที่ A และ B
ต่างก็เป็นตัวแปร เราสามารถลดกฎการผลิตนี้ได้
นิยาม สำหรับไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท เราจะเรียกการผลิตที่อยู่ในรูปแบบ A
B โดยที่ A และ B เป็นตัวแปรว่า การผลิตหนึ่งหน่วย (unit production)
ตัวอย่างที่ 7: ให้ G = < {S,A,B}, {a,b,c}, P, S > เป็นไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทที่มีเซตของการผลิต P ดังนี้
S Aa | B, B A | bb,
A a | bc | B
จงหาไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท G' ที่สมมูลกับ G โดยที่ G' ไม่มีการผลิตหนึ่งหน่วย
ขั้นที่ 1 เขียนกราฟของการผลิตหนึ่งหน่วยทุกแบบ
S B, B A,
A B จะได้ S A
ขั้นที่ 2 สร้างเซตของการผลิต P'
(2.1) ใส่การผลิตทุกแบบที่ไม่ใช่การผลิตหนึ่งหน่วยเข้าไปใน P'
(2.2) สำหรับการผลิต X Y ถ้า Y
เป็นการผลิตที่อยู่ใน P' ให้ใส่การผลิต X
ใน P'
จากตัวอย่าง เราจะเพิ่มการผลิตต่อไปนี้ใน P'
- A bb เพราะ A B
และ B bb
- B a | bc เพราะ B A และ
A a | bc
- S bb | a | bc เพราะ S B และ
B bb | a | bc
- S a | bc | bb เพราะ S A และ
A a | bc | bb แต่เนื่องจากเราได้เพิ่มการผลิตเหล่านี้แล้ว เราไม่จำเป็นต้องมีการผลิตนี้อีก
จะได้ว่า G' = < {S, A, B}, {a, b, c}, P', S > ไม่มีการผลิตหนึ่งหน่วย และ L(G') = L(G)
ทฤษฎีบท สำหรับไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท G ถ้า
L(G) แล้วจะมีไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท G' ที่สมมูลกับ G และ G' ไม่มีการผลิตหนึ่งหน่วย
บทแทรก ถ้า L เป็นภาษาไม่พึ่งบริบทโดยที่
L และ L Ø
แล้วจะมีไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท G' ที่ L = L(G') และ G' ไม่มีตัวแปรไร้ประโยชน์ ไม่มีการผลิตไร้ประโยชน์
ไม่มีการผลิต- และไม่มีการผลิตหนึ่งหน่วย
อย่างไรก็ตาม ภาษาไม่พึ่งบริบทอาจมี อยู่ในภาษา
เราสามารถหาไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทที่ไม่มีการผลิตหนึ่งหน่วย ไม่มีการผลิต- ก่อน
แล้วจึงเติมกลับเข้าในภาษา โดยใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้
ทฤษฎีบท สำหรับภาษาไม่พึ่งบริบท L ซึ่งมี
L เราจะพิจารณาการหาไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท G สำหรับ L -
{} = L(G) เมื่อ G = < V, T, P, S > โดยเราสามารถสร้างไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทที่ยอมรับ L
จาก G ได้ดังนี้ G' = < V', T, P', S' > โดยที่ V' = V {S'}
และ P' = P {S' S,
S' }
|
|
ไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท และภาษาไม่พึ่งบริบท
