จากตัวอย่างของการเขียนไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทที่ผ่านมา เราพบว่าการผลิตมีนิยามที่อิสระในการเขียนทำให้การตรวจสอบ และเปรียบเทียบภาษาเป็นไปด้วยความยุ่งยาก เพื่อให้เกิดการเขียนรูปแบบไวยากรณ์ตรวจสอบได้ง่าย เราจึงเสนอนิยามรูปแบบบรรทัดฐานเพื่อเพิ่มข้อกำหนดในการเขียนไวยากรณ์ สำหรับรูปแบบบรรทัดฐาน (normal form) ของการผลิตที่เราสนใจมีอยู่ 2 รูปแบบด้วยกันคือ รูปแบบบรรทัดฐานชอมสกี (Chomsky normal form) และรูปแบบบรรทัดฐานกรายบาค (Greibach normal form) โดยที่เราประกันว่า ภาษาไม่พึ่งบริบททุกภาษาสามารถเขียนการผลิตให้อยู่ในรูปแบบบรรทัดฐานชอมสกี และอยู่ในรูปแบบบรรทัดฐานกรายบาคได้เสมอ
บทนิยาม การผลิตที่อยู่ในรูป A BC และ A a เมื่อ A, B, C เป็นตัวแปรและ a เป็นคำปลายทางจะถูกเรียกว่า รูปแบบบรรทัดฐานชอมสกี(Chomsky normal form) หรือ ซีเอ็นเอฟ (CNF) และเรียกรูปแบบการผลิต A a เมื่อ a เป็นคำปลายทาง และ เป็นสายอักขระของตัวแปรล้วน หรือ ว่า รูปแบบบรรทัดฐานกรายบาค (Greibach normal form) หรือ จีเอ็นเอฟ (GNF)
ตัวอย่างที่ 1 ให้ G = < {S, A, B}, {a, b}, P, S > เป็นไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทที่มีการผลิต P ประกอบด้วย

S bA| aB, A bAA | aS | a, B aBbA | bS | b

จงหาไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท G' ที่สมมูลกับ G ที่การผลิตทุกแบบใน G' อยู่ในรูปแบบบรรทัดฐานชอมสกี
วิธีทำ เราจะแสดงขั้นตอนการแปลงไวยากรณ์ทีละขั้น ให้ V = {S, A, B} และ T = {a, b}
ขั้นตอนที่ 1 สร้างเซตของตัวแปรใหม่ V' โดยที่ V V' และ พิจารณาการผลิตใน P สร้างเซตการผลิตใหม่ P' ดังนี้

(1.1) ใส่การผลิตที่อยู่ในรูปแบบที่ต้องการแล้วเก็บไว้ใน P'
นั่นคือเก็บ A a และ B b เข้าไปใน P'

(1.2) สร้างการผลิตสำหรับคำปลายทางทุกตัวใหม่ (โดยปกติจะสนใจเฉพาะคำปลายทางที่ปรากฎในกฎการผลิต)
เนื่องจากการผลิตใน P ที่มีสายอักขระทางขวามือของเครื่องหมาย มี a ปรากฏและบางแบบมี b ปรากฏ เราจึงสร้างตัวแปรใหม่ 2 ตัว คือ B_a และ B_b และใส่การผลิต B_a a, B_b b เข้าไปใน P' พร้อมใส่ตัวแปรใหม่ B_a และ B_b ใน V'

(1.3) เปลี่ยนการผลิตทั้งหมดที่มีคำปลายทางอยู่ทางขวา ด้วยตัวแปรใหม่ที่สร้างขึ้นใน 1.2
จาก S bA | aB ใส่การผลิต S B_bA | B_aB เข้าไปใน P'
จาก A bAA | aS ใส่การผลิต A B_bAA | B_aS ใส่เข้าไปใน P'
จาก B aBbA | bS ใส่การผลิต B B_aBB_bA | B_bS ใส่เข้าไปใน P'

ขั้นตอนที่ 2 สร้างตัวแปรใหม่เพื่อให้กฎการผลิตมีตัวแปรสองตัวทางขวาโดย

(2.1) เพิ่มตัวแปรเพื่อลดความยาวของสายอักขระทางขวามือของเครื่องหมาย ใน P' ที่มีความยาวมากกว่า 2 ให้เหลือความยาว 2 ดังนี้
จาก A B_bAA สร้างตัวแปรใหม่ C และใส่การผลิต C AA, A B_bC แทนเข้าไปใน P"
จาก B   B_aBB_bA สร้างตัวแปรใหม่ D₁, D₂ และใส่การผลิต D₁ B_bA, D₂ BD₁, B B_aD₂ แทนเข้าไปใน P"

(2.2) ใส่การผลิตทุกแบบใน P' ที่อยู่ในรูปแบบบรรทัดฐานชอมสกีเข้าไปใน P"
เนื่องจาก S B_bA | B_aB, A B_aS | a, B B_bS | b เป็นการผลิตทั้งหมดใน P' ที่อยู่ในแบบบรรทัดฐานชอมสกี ดังนั้นจึงใส่การผลิตทั้งหมดนี้เข้าไปใน P"

สำหรับ V" = {S, A, B, B_a, B_b, C, D₁, D₂} จะได้ว่า G" = < V", T, P", S > เป็นไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทที่มี P" เป็นเชตของการผลิตที่ประกอบไปด้วย
S B_bA | B_aB, A B_aS | B_bC | a, B B_bS | B_aD₂ | b, C AA, D₁ B_bA, D₂ BD₁, B_a a, B_b b
ซึ่ง G" มีกฏการผลิตทั้งหมดในรูปแบบบรรทัดฐานชอมสกี และสามารถพิสูจน์ได้ว่า L(G) = L(G")

เราสามารถขยายวิธีการนี้ไปสู่กรณีทั่วไปได้โดยง่าย ซึ่งจะขอสรุปเป็นทฤษฎีบทง่าย ๆ ดังนี้
ทฤษฏีบท สำหรับไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท G ทุกชุดที่ไม่มีตัวแปรไร้ประโยชน์ การผลิตไร้ประโยชน์ การผลิต- และการผลิตหนึ่งหน่วย จะมีไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท G" ที่สมมูลกับ G และมีสมบัติว่าการผลิตทุกแบบใน G" อยู่ในรูปแบบบรรทัดฐานชอมสกี (ซีเอ็นเอฟ)
บทแทรก สำหรับภาษาไม่พึ่งบริบท L ทุกภาษาที่ไม่ใช่เชตว่างและไม่มี เป็นสมาชิก จะมีไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท G ที่กฎการผลิตทุกกฎอยู่ในรูปแบบบรรทัดฐานชอมสกี และ L = L(G)
ทฤษฏีบท สำหรับไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท G ทุกชุดที่ไม่มีตัวแปรไร้ประโยชน์ การผลิตไร้ประโยชน์ การผลิต- และการผลิตหนึ่งหน่วย จะมีไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท G" ที่สมมูลกับ G และมีสมบัติว่าการผลิตทุกแบบใน G" อยู่ในรูปแบบบรรทัดฐานกรายบาค (จีเอ็นเอฟ)
พิสูจน์ ให้ G เป็นไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทที่ไม่มีตัวแปรไร้ประโยชน์ การผลิตไร้ประโยชน์ การผลิต- และการผลิตหนึ่งหน่วย จากทฤษฏีบทที่กล่าวมาก่อนหน้านี้ เราสามารถสมมติโดยไม่เสียนัยว่า G อยู่ในรูปแบบบรรทัดฐานชอมสกี
เราจะแสดงเพียงขั้นตอนวิธีในการสร้างเท่านั้น การพิสูจน์ให้ดูจาก Hopcroft and Ullman 1979
สมมติว่า G = < {A₁, A₂, ..., A_n}, T, P, A₁ > และการผลิตทุกแบบใน P อยู่ในรูปแบบซีเอ็นเอฟ
ขั้นตอนที่ 1 พิจารณากฎการผลิตใน P สร้าง P' และ V' ดังนี้

(1.1) ใส่การผลิตทุกแบบใน P ที่อยู่ในรูปแบบ A_i a เมื่อ a T เข้าไปใน P'

(1.2) พิจารณาการผลิตทุกแบบที่เหลือใน P ที่ไม่อยู่ในรูปแบบ A a จะพบว่าการผลิตเหล่านั้น ต้องอยู่ในรูปแบบ A_i A_j เมื่อ {A₁, A₂, ..., A_n}
(1.2.1) ใส่การผลิตทุกแบบที่อยู่ในแบบ A_i A_j เมื่อ i < j เข้าไปใน P'
(1.2.2) สำหรับการผลิตที่อยู่ในรูปแบบ A_i A_j เมื่อ i > j
เราจะจัดรูปแบบใหม่โดยเริ่มจากดรรชนี k ที่เล็กที่สุดที่ทำให้ A_k A_j เมื่อ k > j โดยการใช้กฎที่มีดรรชนีเล็กกว่า เราสามารถเขียนกฎใหม่จนกระทั่งได้ A_k A_k
เพื่อให้ไวยากรณ์ผลิตสายอักขระที่เหมือนเดิม เราทำการสร้างตัวแปรใหม่ B_k และการผลิต B_k | B_k แทนที่กฎเก่า A_k A_k
พร้อมทั้งสำหรับแต่ละ A_k โดยที่ ไม่ขึ้นต้นด้วย A₁, ..., A_k เราใส่การผลิต A_k B_k เข้าไปใน P' (กำจัด A_k A_k ออก)

ทำซ้ำ (1.2.2) จนไม่มีรูปแบบ A_i A_j ที่ i > j เกิดขึ้นอีก
เราได้ว่าการผลิตใน P' ที่เป็นไปได้อยู่ในรูปแบบดังต่อไปนี้เท่านั้น

A_i A_j เมื่อ i < j

A_i a

B_i

ขั้นตอนที่ 2 เขียนแทนการผลิตที่ไม่อยู่ในรูปแบบของกรายบาค ด้วยการผลิตในรูปของจีเอ็นเอฟ

(2.1) การผลิตใน P' ที่อยู่ในรูปแบบ A_n โดยที่ ขึ้นต้นด้วยคำปลายทาง ให้เก็บใน P"

(2.2) การผลิตใน P' ที่อยู่ในรูปแบบ A_n-1 โดยที่ ขึ้นด้วยคำปลายทาง ให้เก็บใน P" หรือ A_n-1 A_n1 ให้แทน A_n ด้วยรูปแบบการผลิตของกรายบาค ที่ได้มาก่อนหน้านี้แล้วเก็บใน P"

ทำซ้ำกับ (2.2) สำหรับ A_n-2, ..., A₁
สำหรับการผลิตในรูปแบบของตัวแปรใหม่ B_i a ให้เก็บใน P" หรือ B_i A_j1 ให้แทน A_j ด้วยรูปแบบการผลิตของกรายบาคที่ได้จากข้างต้น แล้วใส่การผลิตใน P"

เราจะได้ G" = < V', T, P", A₁ > เป็นไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทที่การผลิตทุกแบบอยู่ในรูปแบบบรรทัดฐานกรายบาค และ L(G) = L(G")

จบการพิสูจน์

บทแทรก สำหรับทุกภาษาไม่พึ่งบริบท L ที่ไม่ใช่เซตว่างและไม่มี เป็นสมาชิก จะมีไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท G" ที่การผลิตทุกแบบอยู่ในรูปแบบบรรทัดฐานกรายบาคที่ L = L(G")
ตัวอย่างที่ 2: ให้ G = < {S, A, B}, {a, b}, P, S > เป็นไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทที่มีเซตของการผลิต P ประกอบไปด้วย
S AB, A BS | b, B SA | a
จงหาไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท G" ที่การผลิตทั้งหมดอยู่ในรูปแบบจีเอ็นเอฟที่สมมูลกับ G
วิธีทำ ให้ A₁ แทน S, A₂ แทน A, A₃ แทน B เขียนกฎการผลิตใหม่ได้เป็น

A₁ A₂A₃, A₂ A₃A₁ | b, A₃ A₁A₂ | a

ขั้นตอนที่ 1: พิจารณากฎการผลิตใน P สร้างเซต P' และ V' ใหม่ดังนี้

(1.1) ใส่ A₂ b, A₃ a เข้าใน P'

(1.2.1) เติม A₁ A₂A₃, A₂ A₃A₁ เข้าใน P' จะได้ P' = {A₁ A₂A₃, A₂ A₃A₁ | b, A₃ a }

(1.2.2) จัดรูปแบบ A₃ A₁A₂ ใหม่โดยใช้กฎใน P' ได้
A₃ A₂A₃A₂ (โดยใช้ A₁ A₂A₃) แล้วตามด้วย
A₃ A₃A₁A₃A₂ | bA₃A₂ (โดยใช้ A₂ A₃A₁ | b)
เนื่องจากเรามีกฎการแปลงที่มี A₃ ปรากฎซ้ำเป็นตัวแรกทางขวาคือ A₃ A₃A₁A₃A₂ เราเพิ่มตัวแปร B₃ ใน V' และใส่การผลิต B₃ A₁A₃A₂ | A₁A₃A₂B₃ เข้าใน P' (ในกรณีนี้ = A₁A₃A₂)
เนื่องจาก A₃ bA₃A₂ | a เป็นการผลิตที่ไม่ขึ้นด้วย A_j ที่ j 3 เราจึงต้องเปลี่ยนการผลิตของ A₃ ได้เป็น
A₃ bA₃A₂B₃ | bA₃A₂ | aB₃ | a (เราสามารถตัดกฎ A₃ A₃A₁A₃A₂ ออกจากการพิจารณาได้)

ขั้นตอนที่ 2: เราเขียนการผลิตใหม่ได้ G" = < {A₁, A₂, A₃, B₃}, {a, b}, P", A₁ > โดยที่ P" ประกอบด้วย

A₃ bA₃A₂B₃ | bA₃A₂ | aB₃ | a,

A₂ bA₃A₂B₃A₁ | bA₃A₂A₁ | aB₃A₁ | aA₁ | b,

A₁ bA₃A₂B₃A₁A₃ | bA₃A₂A₁A₃ | aB₃A₁A₃ | aA₁A₃ | bA₃,

B₃ bA₃A₂B₃A₁A₃A₃A₂ | bA₃A₂A₁A₃A₃A₂ | aB₃A₁A₃A₃A₂ | aA₁A₃A₃A₂ | bA₃A₃A₂ | bA₃A₂B₃A₁A₃A₃A₂B₃ | bA₃A₂A₁A₃A₃A₂B₃ | aB₃A₁A₃A₃A₂B₃ | aA₁A₃A₃A₂B₃ | bA₃A₃A₂B₃

ตัวอย่างที่ 3: ให้ G = <{A₁, A₂, A₃}, {a, b}, P, A₁ > เป็นไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทชุดหนึ่งเมื่อ P ประกอบด้วย A₁ A₂A₂A₃, A₂ A₁A₂ | b, A₃ A₁A₃ | a |
จงหาไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท G" ที่การผลิตทุกแบบอยู่ในรูปของกรายบาคและสมมูลกับ G

สมบัติของภาษาไม่พึ่งบริบท
ภาษาไม่พึ่งบริบท เป็นกลุ่มของภาษาที่ใหญ่กว่าภาษาปกติ นั่นคือสำหรับภาษาปกติทุกภาษา เราสามารถเขียนไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทที่ก่อกำเนิดภาษาปกตินั้นได้เสมอ โดยเราจะใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้ในการพิสูจน์
ทฤษฎีบท

1. ถ้า L₁ และ L₂ เป็นภาษาไม่พึ่งบริบทแล้ว L₁ L₂ และ L₁L₂ เป็นภาษาไม่พึ่งบริบทด้วย
2. ถ้า L เป็นภาษาไม่พึ่งบริบทแล้ว L^* เป็นภาษาไม่พึ่งบริบทด้วย

พิสูจน์

1. ให้ G₁ = < V₁, T₁, P₁, S₁ > เป็นไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทที่ก่อกำเนิด L₁ และ ให้ G₂ = < V₂, T₂, P₂, S₂ > เป็นไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทที่ก่อกำเนิด L₂ โดยที่ V₁ และ V₂ ไม่มีตัวแปรร่วมกันเลย
   เราเขียนไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทใหม่ได้เป็น G = < V₁ V₂ {S}, T₁ T₂, P₁ P₂ {S S₁ | S₂} , S > เป็นไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทที่ก่อกำเนิด L₁ L₂
   และ ไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท G' = < V₁ V₂ {S}, T₁ T₂, P₁ P₂ {S S₁S₂} , S > เป็นไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทที่ก่อกำเนิด L₁L₂
2. ให้ G = < V, T, P, S > เป็นไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทที่ก่อกำเนิด L
   สร้าง G' = < V {S'}, T, P {S' SS' | }, S' > เป็นไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทที่ก่อกำเนิด L^*

จบการพิสูจน์

ตัวอย่างที่ 4 จงแสดงว่า , {}, {a} เป็นภาษาไม่พึ่งบริบทเมื่อ a
ดังนั้น ภาษาปกติเป็นภาษาไม่พึ่งบริบทด้วย
หมายเหตุ L₁ L₂ อาจไม่เป็นภาษาไม่พึ่งบริบท แม้ว่าทั้ง L₁ และ L₂ เป็นภาษาไม่พึ่งบริบทก็ตาม เช่น
L₁ = {a^mbⁿcⁿ | m, n } และ L₂ = {a^mb^mcⁿ | m, n } เป็นภาษาไม่พึ่งบริบททั้งคู่
แต่ L₁ L₂ = {aⁿbⁿcⁿ | n } ไม่ใช่ภาษาไม่พึ่งบริบท
ไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทที่ก่อกำเนิด L₁ คือ < {S, A, B}, {a, b, c}, {S AB, A aA | a, B bBc | bc}, S >
ไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทที่ก่อกำเนิด L₂ คือ < {S', C, D}, {a, b, c}, {S' CD, C aCb | ab, D cD | c}, S' >
เราพบว่าภาษาไม่พึ่งบริบทก็ยังไม่ครอบคลุมภาษาทั้งหมดที่เราสนใจ นั่นคือยังมีภาษาบางภาษาที่ไม่ใช่ภาษาไม่พึ่งบริบท ซึ่งเราสามารถแสดงการพิสูจน์โดยใช้ทฤษฎีบทตั้งการปั๊มขึ้นมาสำหรับภาษาไม่พึ่งบริบทที่จะกล่าวต่อไป
ทฤษฎีบทตั้งการปั๊มขึ้นมาสำหรับภาษาไม่พึ่งบริบท (Pumping lemma for CFL)
ถ้า L ^* เป็นภาษาไม่พึ่งบริบท แล้วจะได้ว่า จะมีจำนวนเต็มบวก k ที่มีสมบัติว่า

(**) สำหรับทุก z ^* ถ้า z L และ | z | k แล้ว เราสามารถเขียน z = uvwxy ได้โดยที่ u, v, w, x, y ^*, | vx | 1, | vwx | k และ uvⁱwxⁱy L ทุก i ₀

ตัวอย่างที่ 5: จงพิสูจน์ว่า L = {aⁿbⁿcⁿ | n } ไม่ใช่ภาษาไม่พึ่งบริบท
พิสูจน์ สมมติว่า L เป็นภาษาไม่พึ่งบริบท ดังนั้นโดย ทฤษฎีบทประกอบการปั๊มขึ้นมาสำหรับภาษาไม่พึ่งบริบท จะได้ว่า จะมีจำนวนเต็มบวก k ที่สอดคล้องกับสมบัติ (**) ในทฤษฎี
ถ้าเราพิจารณา z = a^kb^kc^k ได้ว่า z L และ | z | = k + k + k = 3k k ทำให้เงื่อนไขใน (**) เป็นจริง
เราเขียน a^kb^kc^k = z = uvwxy ได้โดยที่ 1 | vx |, | vwx | k และ uvⁱwxⁱy L ทุกจำนวนเต็ม i 0
ถ้าพิจารณาที่ i = 0 จะได้ว่า uwy L
จาก | vx | 1, | vwx | k และ a^kb^kc^k = uvwxy เราอาจได้ว่า vx = a^mb^j โดยที่ 1 j + m k หรือ vx = b^sc^t โดยที่ 1 s + t k
กรณีที่ 1: vx = a^mb^j โดยที่ 1 j + m k จะได้ว่า uwy = a^k-mb^k-jc^k ซึ่งไม่อยู่ใน L (จำนวนของตัวอักขระ a, b, c ต้องเท่ากันเท่านั้น)
กรณีที่ 2: vx = b^sc^t โดยที่ 1 s + t k จะได้ว่า uwy = a^kb^k-sc^k-t ซึ่งไม่อยู่ใน L (จำนวนของตัวอักขระ a, b, c ต้องเท่ากันเท่านั้น)
ไม่ว่ากรณีใดๆ เกิดการขัดแย้งเสมอ ข้อความที่สมมติไว้ไม่เป็นจริง ดังนั้น L ไม่เป็นภาษาไม่พึ่งบริบท

จบการพิสูจน์

ข้อสังเกตุ ภาษาบางภาษาไม่เป็นภาษาไม่พึ่งบริบท เช่น L = {a^tb^jc^mdⁿ | t = 0 หรือ j = m = n เพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง} แต่เราไม่สามารถใช้ทฤษฎีบทตั้งการปั๊มขึ้นมาสำหรับภาษาไม่พึ่งบริบทในการพิสูจน์ได้ ซึ่งเราต้องใช้ ทฤษฎีบทที่แสดงสมบัติของภาษาไม่พึ่งบริบทที่ดีกว่าทฤษฎีบทตั้งการปั๊มขึ้นมาสำหรับภาษาไม่พึ่งบริบทที่เรียกว่า ทฤษฎีบทตั้งของอ๊อคเดน (Ogden's Lemma) ซึ่งต้องใช้ความหมายของการแยกแยะได้ เราจึงจะข้ามการใช้ทฤษฎีนี้ไป
ทฤษฎีบทตั้งของอ๊อคเดน (Ogden's lemma)
ถ้า L ^* เป็นภาษาไม่พึ่งบริบท แล้วจะได้ว่า จะมีจำนวนเต็มบวก k ที่มีสมบัติว่า

(***) สำหรับทุก z ^* ถ้า z L แล้ว สำหรับทุกการกำหนด "ตำแหน่งแยกแยะ" อย่างน้อย k ตำแหน่งใน z จะได้ว่าเราสามารถเขียน z = uvwxy ได้โดยที่ u, v, w, x, y ^* และ

1. v และ x รวมกันต้องมีตำแหน่งแยกแยะอย่างน้อยหนึ่งตำแหน่ง
2. vwx มีตำแหน่งแยกแยะไม่เกิน k ตำแหน่ง และ
3. uvⁱwxⁱy L ทุก i ₀

การสมมูลกันของออโตมาตากดลง
เราทราบความแตกต่างระหว่างเครื่องออโตมาตากดลงทั้งแบบเชิงกำหนดและเชิงไม่กำหนด ในส่วนนี้เราสนใจกลุ่มของภาษาที่ยอมรับได้โดยออโตมาตากดลงแบบปกติ (ประโยคที่ยอมรับโดยการหยุดที่สถานะยอมรับ) กับแบบที่ยอมรับโดยกองซ้อนว่างซึ่งเราจะแสดงว่ากลุ่มภาษาทั้งสองนี้สมมูลกัน ต่อจากนั้นเราจึงค่อยแสดงว่า กลุ่มของภาษาที่ยอมรับด้วยออโตมาตากดลงแบบกองซ้อนว่างสมมูลกับกลุ่มของภาษาไม่พึ่งบริบท
ทฤษฎีบท L เป็นภาษาที่ยอมรับโดยสถานะยอมรับของออโตมาตากดลง M₁ ก็ต่อเมื่อ L เป็นภาษาที่ยอมรับโดยกองซ้อนว่างของออโตมาตากดลง M₂
พิสูจน์

• ให้ L เป็นภาษาที่ยอมรับโดยสถานะยอมรับของออโตมาตากดลง M = (Q, , , , q₀, Z₀, F)
  เราสร้างออโตมาตาแบบกดลงที่ยอมรับโดยกองซ้อนว่างได้ดังนี้ M' = (Q {q', q"}, , {Z'₀}, ', q', Z'₀, ) เป็นออโตมาตากดลงที่มีนิยามของ ' ดังนี้
  1. '(q', , Z'₀) = {(q₀, Z₀Z'₀) } หมายถึงเมื่อเริ่มต้น เราใส่สัญลักษณ์ของกองซ้อนตัวล่างสุดของเครื่อง M บนสัญลักษณ์กองซ้อนว่างของ M' ก่อน)
  2. '(q, a, A) = (q, a, A) ทุก q Q - F, a {}, A
  3. '(q, , A) = (q, , A) {(q", )} ทุก q F, A
  4. '(q", , A) = {(q", )} ทุก A {Z'₀}
  โดยที่ในขั้นที่ 1 บ่งบอกว่าเริ่มต้นของ M' ให้เปลี่ยนเป็นสถานะเริ่มต้นของ M และใส่สัญลักษณ์กองซ้อนว่างของ M บนสัญลักษณ์กองซ้อนว่างของ M'
  ในขั้นที่ 2 ให้ทำงาน M' เหมือนกับ M ยกเว้นกรณีที่อยู่ในสถานะยอมรับใน F
  ในขั้นที่ 3 และ 4 เป็นการทำกองซ้อนให้ว่างเมื่อเราพบว่า เราต้องการยอมรับคำปัจจุบัน
  จะเห็นได้ว่า L(M) = N(M')
• ในทางกลับกัน ถ้า L ซึ่งเป็นภาษาที่ยอมรับโดยกองซ้อนว่างของออโตมาตาจำกัด M = (Q, , , , q₀, Z₀, )
  เราสร้างออโตมาตาแบบกดลงที่ยอมรับโดยสถานะยอมรับได้ดังนี้ M' = (Q {q', q_F}, , {Z'₀}, ', q', Z'₀, {q_F}) เป็นออโตมาตากดลงที่มีนิยามของ ' ดังนี้
  1. '(q', , Z'₀) = {(q₀, Z₀Z'₀) } หมายถึงเมื่อเริ่มต้น เราใส่สัญลักษณ์ของกองซ้อนตัวล่างสุดของเครื่อง M ก่อน)
  2. '(q, a, A) = (q, a, A) ทุก q Q {q', q_F}, a {}, A
  3. '(q, , Z'₀) = {(q_F, Z'₀)} ทุก q Q
  โดยที่ในขั้นที่ 1 บ่งบอกว่าเริ่มต้นของ M' ให้เปลี่ยนเป็นสถานะเริ่มต้นของ M และใส่สัญลักษณ์กองซ้อนว่างของ M บนสัญลักษณ์กองซ้อนว่างของ M'
  ในขั้นที่ 2 ให้ทำงาน M' เหมือนกับ M
  ในขั้นที่ 3 เมื่ออ่านสายอักขระจนจบ และถ้าในกองซ้อนของ M' เหลืออยู่แค่ Z'₀ ให้ย้ายสถานะไปยังสถานะยอมรับ
  จะเห็นได้ว่า N(M) = L(M')

จบการพิสูจน์

ทฤษฏีบท ถ้า L เป็นภาษาไม่พึ่งบริบท แล้วจะมีเครื่องออโตมาตากดลง M ที่ L = N(M)
พิสูจน์ สมมติให้ L เป็นภาษาไม่พึ่งบริบท
ในกรณีที่ L = หรือ L = {} จะเห็นได้ง่ายว่า เราสามารถสร้างออโตมาตากดลงที่ยอมรับโดยกองซ้อนว่างได้ที่ L = N(M)
ดังนั้นเราจะพิจารณาในกรณีที่ L และ L {} ให้ L' = L - {} เราได้ว่า L' เป็นภาษาไม่พึ่งบริบทด้วย โดยทฤษฎีบทที่ผ่านมาจะได้ว่า เรามีไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทที่อยู่ในรูปกรายบาคที่ L' = L(G) โดยที่ G = < V, T, P, S > เราสร้าง M = (Q, , , , q₀, Z₀, )

Q = {q₀, q₁}

= T

= V {Z₀}

นิยามดังนี้ (q₀, , Z₀) = {(q₁, S)}
และสำหรับทุก a T, A V, V^* (q₁, ) , (q₁, a, A) ก็ต่อเมื่อ A a เป็นการผลิตใน P

จะได้ว่า L' = N(M) การขยายไปสู่การยอมรับ L ที่มี ก็สามารถทำได้โดยง่าย

จบการพิสูจน์

ตัวอย่างที่ 6: จงสร้างออโตมาตากดลงที่ยอมรับโดยกองซ้อนว่าง สำหรับ L = {a^mbⁿcⁿ | m, n }
ตัวอย่างที่ 7: จงสร้างออโตมาตากดลงที่ยอมรับโดยกองซ้อนว่าง ที่ยอมรับ L(G) โดยที่ G = < {S, A, B}, {0, 1}, P, S > และ P = { S 0SA | 0A, A 1AB | 10, B 0}
ทฤษฏีบท ถ้า L เป็นภาษาที่มีเครื่องออโตมาตากดลง M ที่ยอมรับ L โดยกองซ้อนว่าง แล้ว L ต้องเป็นภาษาไม่พึ่งบริบท
พิสูจน์ ให้ L เป็นภาษาที่ยอมรับโดยเครื่องออโตมาตากดลง M = (Q, , , , q₀, Z₀, ) นั่นคือ L = N(M)
เราสร้างไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบทดังนี้ G = < V, T, P, S >

V = {[q, A, p] } q, p Q, A } {S}

T =

P เป็นเซตของการผลิตต่อไปนี้

1. S [q₀, Z₀, q] ทุก q Q
2. [q, A, q₁] a ถ้า (q₁, ) (q, a, A) ทุก q, q₁ Q, a {}, A
3. [q, A, q_m+1] a[q₁, B₁, q₂] [q₂, B₂, q₃] ... [q_m, B_m, q_m+1] ถ้า (q₁, B₁B₂...B_m) (q, a, A) ทุก q, q₁, q₂, ..., q_m+1 Q, a {}, A, B₁, B₂, ..., B_m

จบการพิสูจน์

ตัวอย่างที่ 9: ให้ M = ({q₀, q₁}, {0, 1}, {X, Z₀}, , q₀, Z₀, ) เป็นออโตมาตากดลงที่มี ดังนี้

(q0, 0, Z0) = {(q0, XZ0)},	(q0, 0, X) = {(q0, XX)},	(q0, 1, X) = {(q1, )},
(q1, 1, X) = {(q1, )},	(q1, , X) = {(q1, )},	(q1, , Z0) = {(q1, )}

จงหาไวยากรณ์ไม่พึ่งบริบท G ที่ L(G) = N(M) โดยวิธีการสร้างในการพิสูจน์ทฤษฎีบท
วิธีทำ G = < V, T, P, S > โดยที่

V = {S, [q₀, X, q₀], [q₀, X, q₁], [q₁, X, q₀], [q₁, X, q₁], [q₀, Z₀, q₀], [q₀, Z₀, q₁], [q₁, Z₀, q₀], [q₁, Z₀, q₁]}

T = {0, 1}

และเราจะสนใจการผลิตที่เกิดจาก S เท่านั้น ดังนั้นเราจะเริ่มจากการผลิต S ไปตัวแปรที่เหลือ จนกระทั่งถึงคำปลายทาง

S [q₀, Z₀, q₀] | [q₀, Z₀, q₁]

เพิ่มการผลิตสำหรับตัวแปร [q₀, Z₀, q₀] จาก (q₀, 0, Z₀) = {(q₀, XZ₀)}
[q₀, Z₀, q₀] 0[q₀, X, q₀] [q₀, Z₀, q₀]
และ [q₀, Z₀, q₀] 0[q₀, X, q₁][q₁, Z₀, q₀]

การผลิตสำหรับตัวแปร [q₀, Z₀, q₁] จาก (q₀, 0, Z₀) = {(q₀, XZ₀)} คือ
[q₀, Z₀, q₁] 0[q₀, X, q₀][q₀, Z₀, q₁]
และ [q₀, Z₀, q₁] 0[q₀, X, q₁][q₁, Z₀, q₀]

จาก (q₀, 0, X) = {(q₀, XX)} จะได้การผลิตต่อไปนี้
[q₀, X, q₀] 0[q₀, X, q₀][q₀, X, q₀]
[q₀, X, q₀] 0[q₀, X, q₁][q₁, X, q₀]
[q₀, X, q₁] 0[q₀, X, q₀][q₀, X, q₁]
[q₀, X, q₁] 0[q₀, X, q₁][q₁, X, q₁]

จาก (q₀, 1, X) = {(q₁, )} จะได้การผลิต [q₀, X, q₁] 1

จาก (q₁, , Z₀) = {(q₁, )} จะได้การผลิต [q₁, Z₀, q₁]

จาก (q₁, , X) = {(q₁, )} จะได้การผลิต [q₁, X, q₁]

จาก (q₁, 1, X) = {(q₁, )} จะได้การผลิต [q₁, X, q₁] 1

เนื่องจากเราไม่มีการผลิตเกิดขึ้นสำหรับตัวแปร [q₁, X, q₀] และ [q₁, Z₀, q₀] และ การผลิตสำหรับ [q₀, X, q₀] และ [q₀, Z₀, q₀] ทุกแบบมี [q₁, X, q₀] และ [q₁, Z₀, q₀] ปรากฎทางขวาเสมอ ดังนั้น [q₀, X, q₀] และ [q₀, Z₀, q₀] ไม่สามารถผลิตสายอักขระใน T^* ได้ เราจึงตัดการผลิตทุกแบบที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรทั้งสี่ออกได้ สรุปได้ว่า

P ประกอบด้วยกฎการผลิตต่อไปนี้

S [q₀, Z₀, q₁], [q₁, Z₀, q₁] , [q₀, Z₀, q₁] 0[q₀, X, q₁][q₁, Z₀, q₁], [q₁, X, q₁] , [q₀, X, q₁] 0[q₀, X, q₁][q₁, X, q₁], [q₁, X, q₁] 1, [q₀, X, q₁] 1